Radio de convergencia de una derivada de una serie de potencias.

Question

Las series de potencias $\sum_{0}^{\infty}k_n(x-b)^n$ y $\sum_{1}^{\infty}nk_n(x-b)^{n-1}$ tienen el mismo radio de convergencia, sin embargo ¿sería cierto decir que $\sum_{1}^{\infty}k_n(x-b)^n$ y $\sum_{1}^{\infty}nk_n(x-b)^{n-1}$ tienen los mismos radios de convergencia?

Tengo que tener cuidado ya que esto es parte de una pregunta de tarea, pero siento que simplemente saber este dato no es hacer trampa.

En mi ejemplo, 'he sacado' el primer término en la segunda suma para dar n = 2 en el límite inferior de la suma. Esto encaja con la 'regla', Sin embargo ahora tengo esto;

$\sum_{1}^{\infty}nk_n(x-b)^{n-1} = 1/t + \sum_{2}^{\infty}nk_n(x-b)^{n-1}$ donde $t$ es un entero.

Seguramente esto debe afectar al radio de convergencia. ¿Alguien podría aclarar si lo hace/no lo hace?

Parece que el nuevo radio de convergencia es $R + 1/t$

Answer 1

No, no afecta al radio de convergencia. La convergencia de una serie no cambia si se omiten un número finito de términos. Es decir, $$ \sum_{n=0}^\infty a_n\text{ converge si y solo si }\sum_{n=N}^\infty a_n\text{ converge,} $$ donde $N$ es un entero positivo.