La zona donde el perro puede itinerar

Question

Un perro está atado a circular pilar por una cuerda. El radio de este pilar es $1m$ y la longitud de la cuerda es $\pi m$. ¿Qué es una zona donde el perro puede moverse?

He tratado de encontrar el área de todos los semicírculos y, a continuación, para encontrar la suma de sus partes. Es fácil encontrar un área en la parte delantera de la columna. Es $\displaystyle\frac12\pi^2\pi=\frac{\pi^3}{2}$. El problema es cómo encontrar el resto de la zona. Traté de escribir esta área, utilizando regla y compás, pero no podía. Entonces escribí esto en AutoCAD y se parece a esto:

Es posible encontrar el valor exacto de esta área?

Answer 1

[Edit: redefinido $\theta$ por la sencillez y la introdujo $a$ para la generalidad.]

Deje $a$ ser el radio de la columna ($a=1$ en el ejemplo). La longitud de la cuerda es $L=\pi a.$

Deje que la longitud de la cuerda (que se supone tenso) que no están en contacto con el pilar se $l(\theta)$ donde $\theta$ es el ángulo entre una línea vertical que desciende desde el pilar centro (O) y una línea entre la O y la cuerda del punto de fijación. Entonces $$l = a\theta$$ $\theta$ es también el ángulo de la cuerda medido desde la horizontal.

El área barrida como la cuerda gira en sentido antihorario a través de ángulo de incremento $d\theta$ es $$dA = \tfrac{1}{2}l^2 d\theta$$ El total de área barrida en el cuadrante inferior derecho es, por tanto, $$A = \int dA = \int_0^{\pi}\tfrac{1}{2}^2\theta^2 d\theta = \tfrac{1}{6}\pi^3a^2$$ Doblándose por el otro lado y añadiendo el área semicircular en la parte superior le da un área total de $$2 (\tfrac{1}{6}\pi^3a^2) + \tfrac{1}{2}\pi(\pi)^2 = \tfrac{5}{6}\pi^3a^2$$