Polinomio minimal de una matriz compuesta

Question

Supongamos que $p(x) \in R[x]$ es un polinomio irreducible de grado $n$ sobre un anillo conmutativo $R$. Sea $A$ la matriz compañera de $p(x)$, y $I$ la matriz identidad de $n$ por $n$.

Ahora definimos

$M = \begin{bmatrix} A & I & & 0\\ & A & \ddots & \\ & & \ddots & I \\ 0 & & & A \end{bmatrix}$

donde hay $k$ copias de $A$.

¿Es verdad que el polinomio minimal de $M$ es igual a $[p(x)]^k$? (Si es así, ¿cómo se puede demostrar?)

¡Gracias!

Answer 1

La solución dada aquí

Polinomio minimal de una matriz de matrices

se generaliza como una solución a mi pregunta. (Si $q$ es un polinomio, note que las entradas de $q(M)$ son de la forma $\frac{q^{(j)}(A)}{j!}$.)