Antecedentes:
La tetration \begin{equation} ^xe = \exp^{[\circ x]}(1) = \underbrace{e^{e^{\cdot^{\cdot^e}}}}_{x \text{ veces}} está bien definida cuando $x \in \mathbb{Z}$. La extensión de la tetration a altura real $x \in \mathbb{R}$ también puede ser entendida (aunque no es única). Por ejemplo, $^xe \approx 1+x$ para $-1 < x \leq 0$, y esto puede iterarse para interpretar $^xe$ en todo $x \in \mathbb{R}$.
Motivación:
Estoy preguntándome cómo se define $\exp^{[\circ x]}(y)$. Nuevamente, si $x \in \mathbb{N}$, esto es simplemente \begin{equation} \exp^{[\circ x]}(y) = e^{\cdot^{\cdot^{e^y}}}. También si $y = \exp^{[\circ n]}(1)$ para algún $n \in \mathbb{Z}$, entonces \begin{equation} \exp^{[\circ x]}(y) = \exp^{[\circ x+n]}(1), lo cual puedo interpretar para cualquier $x' = x+n \in \mathbb{R}$.
Pregunta:
En contraste, cuando $y \neq \exp^{[\circ n]}n(1)$ para ningún $n \in \mathbb{Z}$, ¿cómo se define $\exp^{[\circ x]}(y)$ para $x \in \mathbb{R}$? Supongo que alguna condición inicial debe ser establecida, como $\exp^{[\circ 0]}(y) = \operatorname{id}(y) = y$ y $\exp^1(y) = e^y$, pero no sé cómo interpolar esto en el intervalo $0 < x < 1$.
Un intento:
¿Es posible definir alguna interpolación arbitraria? Como
\begin{equation} \exp^{[\circ x]}(y) = (1-x)y + x e^y, \quad 0 \leq x \leq 1 \end{equation} y recrear $\exp^{[\circ x]}(y)$ en $x \in \mathbb{R}$ mediante iteración? ¿Existe un interpolante único? ¿O no son únicos pero dependen de la regularidad que impongamos?
