Suma de los dígitos de $11\dots 11^2$ donde $11\dots 11$ es de 1992 número de dígitos con todos los dígitos $1$

Question

He leído esto en un no-math forum donde el OP dice que esto es una cuestión de Grado 6 estudiantes de la escuela primaria. 6 ° grado de la escuela primaria de nivel es de alguna manera ambigua pero claramente esto significa que no hay matemáticas avanzadas de la herramienta puede ser utilizada. (Tal vez algunos primaria módulo aritmético es permitido?)

He intentado en la mayoría de los mudos manera:

Ya sabemos que $11\dots 1^2$ $n\leq 9$ dígitos de $1$'s $123\dots n \dots 321$ porque $11\dots 1^2 = 11\dots 1 \times \sum^{n-1}_{m=0}10^m$ (lo que explica por qué la respuesta es $1$ $n$ luego vuelve a $1$). Así que podemos decir $11\dots 11^2$ es sumar (número de dígitos) de $1$, lo puso en el dígito, y la suma de ellos. A continuación, aplicamos en $n>9$ y observar el proceso.

Esto parece prometedor, o al menos manejables. Contar el número de $1$'s que están involucrados en el cómputo de número en el dígito, y agregar lleva inferior de los dígitos. Por ejemplo, en el 102 dígitos esto va a ser $102+11+1=114$, por lo que el es $11$, el número de 102 dígito es $4$. Finalmente la suma de todos los dígitos.

El trabajo parece demasiado inmenso y no es bello. Alguien tiene algunas ideas inteligentes acerca de esta cuestión?

(El resultado es $17910$ y el post original está en Chino, así que no quiero poner el enlace aquí)

Answer 1

Creo que mi método es esencialmente equivalente a Archaick, pero se podría hacer más claro cómo se puede contar sin fuerza bruta per se. Tenga en cuenta que el número que estamos cuadrado es $\frac{10^{1992}-1}{9}$, por lo que contamos con los dígitos de $$\left(\frac{10^{1992}-1}{9}\right)^2 = \frac{1}{81}(10^{3984} - 2\cdot 10^{1992} +1)$$ Para escribir esto como un entero, tenga en cuenta que $$\frac{1}{81} = \frac{12,345,679}{999,999,999} \quad \text{ y por lo tanto} \quad \frac{2}{81} = \frac{24,691,358}{999,999,999}$$ Esto nos indica la repetición de 9 dígitos patrones en $\frac{10^{3984} }{81}$$\frac{2\cdot 10^{1992}}{81}$. Tomar la diferencia, tenga en cuenta que los dos principales son los términos de $1$'s de la $10^{3982}$ lugar y en el $10^{1990}$ el lugar, respectivamente. La primera sustracción, a continuación, se produce en el último dígito, que corresponde al dígito $4$ en la expansión de $\frac{10^{3984} }{81}$$3982-3 = 3980 \equiv 1990 \mod 9$. La diferencia, por tanto, tiene el patrón que se repite sin cambios a partir de los dígitos en el $10^{1991}$ lugar a la $10^{3982}$ lugar, y de menor dígitos, el patrón de repetición es ahora $$456,790,123-246,913,580 = 209,876,543$$ Este patrón se repite de forma indefinida, hasta que el punto decimal, momento en el cual añadimos $1/81$ con el efecto de redondeo $...320.\overline{976543210}$$...321$.

Tenga en cuenta que hay $221$ nueve dígitos secuencias en cada modelo, además de los tres primeros dígitos y el final de dos dígitos. La suma de los dígitos es, a continuación,$1+2+3+221(44) + 221(37) + 2 + 1 = 9 + 221\cdot 81 = 17910$.

Answer 2

Esto no es especialmente bonita, pero pensé que me gustaría compartir las complicaciones que surgen en el uso de este método. Si se multiplica este de la manera en que la mayoría de los estudiantes de primaria se les enseña a multiplicar números (al menos en EEUU), tendrás una suma de la forma $(11\ldots11)\sum_{i=1}^{1992}10^i$, alineados en $1991*2+1=3983$ columnas. En la primera columna, se realizará un único 1. En el segundo, habrá dos, etc. Por lo tanto, los nueve primeros dígitos se $\ldots987654321$. El décimo dígito será un 0 y será seguido por un 2 en lugar de 1, debido a la "portar" un dígito de cuando llegamos a la columna que tenía 10 queridos. Más sucintamente, la mitad de esta expansión, donde el número de 1s en cada columna está aumentando, contribuirá $(11\ldots11)^2=\sum_{i=1}^{N} i(10)^{i-1}$ (donde $N$ es el número de dígitos de la plaza) para la totalidad del producto. Este patrón continuará hasta llegar a la mitad del número total de dígitos del producto. Es decir que cada nueve dígitos hará un ciclo a través de $\ldots098765432\ldots$ sólo será de nueve porque nos 'saltarse' los que, debido a la llevada dígitos. Una vez que estamos precisamente a la mitad de camino a través de las columnas, el número de unos en cada columna va a comenzar a disminuir con cada columna adicional. Sin embargo, cuando llegamos a una columna con $10^n+1$ 1s en él, ya no habrá ninguna razón para ir. Sin embargo, cuando llegamos a una columna que contiene a $10^n$ 1s en ella, vamos a añadir $n$ a la siguiente columna, pero sólo $n-1$ a la columna después de eso. Por lo tanto, vamos a estar saltando $8$s ahora. Es decir, después de la mitad del recorrido, vamos a ver $12320$ (desde $1992 \mod 9=3$) y, a continuación, los dígitos hará un ciclo a través de $\ldots123456790\ldots$. Ahora estamos listos para calcular nuestro gran total. Los primeros 9 dígitos contribuirá $1+2+3+4+5+6+7+8+9=45$. Desde $1989/9= 221$, entonces, vamos a tener 220 ciclos de $098765432$, cada uno de los cuales contribuirán 44. También tendremos $\ldots12320\ldots$ en el centro que va a contribuir $8$ y, a continuación, 221 ciclos de$\ldots123456790\ldots$, cada uno de los cuales contribuirán 37. $45+(220*44)+8+(221*37)=17910$. Tengo un tiempo difícil creer que no son más que un puñado de estudiantes de sexto grado en el mundo, capaz de este tipo de matemáticas.

Answer 3

Suma $=9n+((n \bmod 9)-9) (n \bmod 9)$ donde $n=$ número de dígitos.

De verificación:

n = 1992;
9 n + (Mod[n, 9] -9) Mod[n, 9]
Total@IntegerDigits[FromDigits[ConstantArray[1, n]]^2]