¿Puedo aplicar la expansión de Taylor a los exponentes?

Question

Si tengo un límite en esta forma:

$$\lim_{x\to x_0}f(x)^{g(x)}$$

¿Puedo expandir $f(x)$ y $g(x)$ para terminar con un límite como:

$$\lim_{x\to x_0}\left(f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}2x^2 + \cdots\right)^{g(0) + g'(0)x + \frac{g''(0)}2x^2 + \cdots}$$

luego cortar la serie y escribir:

$$\lim_{x\to x_0}\left(f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}2x^2\right)^{g(0) + g'(0)x + \frac{g''(0)}2x^2}$$

¿y trabajar en esta en su lugar? ¿O esto no está permitido por alguna razón oscura? $x_0$ está dentro del radio de convergencia de ambas expansiones.

EDITAR: Agregaré un ejemplo que vi hoy en esta página web:

$$\lim_{\theta\to0^+}(\sin\theta)^{\sin\theta-\sin^2\theta}$$

¿Puedo usar el hecho de que $\sin\theta\sim\theta$ y decir que este límite es equivalente al siguiente?

$$\lim_{\theta\to0^+}\theta^{\theta(1-\theta)}$$

El resultado es el mismo, pero podría ser una coincidencia. ¿Es correcto este procedimiento aquí? ¿En el caso general?

Gracias de antemano.

Answer 1

Como sugerí en los comentarios, escribe $$\sin x = x + \epsilon_1(x), \quad\text{donde } \lim_{x\to 0} \frac{\epsilon_1(x)}x = 0.$$ Entonces $\sin^2 x=x^2+\epsilon_1(x)$, con $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\epsilon_2(x)}{x^2}=0$.

Para $x>0$, tenemos $$\begin{align*} \log\left(\sin x)^{\sin x-\sin^2x}\right) &= (\sin x-\sin^2x)\log(\sin x) \\ &= (x-x^2+\epsilon(x))\log(x+\epsilon_1(x)) \quad\text{con }\lim_{x\to 0}\frac{\epsilon(x)}x = 0 \\&= (x-x^2+\epsilon(x))\log x+(x-x^2+\epsilon(x)\log\left(1+\frac{\epsilon_1(x)}x\right) \\ &=x\left(1-x+\frac{\epsilon(x)}x\right)\log x +(x-x^2+\epsilon(x))\log\left(1+\frac{\epsilon_1(x)}x\right). \end{align*}$$ Ahora termina usando $\lim\limits_{x\to 0^+} x\log x = 0$ y las leyes de límite habituales.