Confusión de notación para el volumen diferencial

Question

¿Puede alguien ayudarme con una explicación de la siguiente notación? Estoy un poco confundido:

Supongamos que tenemos algún tipo de integral y al final escribimos diferentes diferenciales, como:

$$d\vec r ,\quad d^3\vec r,\quad dxdydz,\quad dV.$$

¿Cómo se relacionan entre sí? ¿Podemos expresar el primero en componentes, o el segundo?

Cualquier explicación ayudaría. Lo pregunto porque estoy viendo este hilo:

Distribución de velocidad en una dimensión

Y no lo entiendo. En primer lugar, la PDF (como por ejemplo la distribución normal) no tiene una parte diferencial como la que hay para la velocidad en el enlace anterior. Y luego, ¿cuál es la diferencia entre la distribución de velocidades de Maxwell y la distribución de velocidades de Maxwell?

Lo que sé (por favor, corríjanme si me equivoco):

$dP(x)=f(x)dx$ lo cual físicamente significa que estamos buscando la probabilidad de que $x$ se encuentre en el intervalo de $x$ y $x + dx$.

Luego, para la distribución de velocidad/rapidez (en 3D), en analogía con la ecuación anterior tendríamos:

$dP(\vec v)=f(\vec v)dv_x dv_y dv_z /$. Es $dv_x dv_y dv_z = d\vec v$ o $d^3 \vec v$. Estoy confundido por las notaciones, etc.

Answer 1

Como advertencia, no existen reglas absolutas sobre la notación, y siempre debes consultar la fuente particular que estás leyendo y asegurarte de entender sus convenciones. Si sus convenciones no están claramente explicadas, debes buscar otra fuente.

Dicho esto, generalmente puedes esperar:

• El elemento de volumen tridimensional (escalar) es $dV = d^3 \vec{r} = dx dy dz$. Todos los símbolos son diferentes notaciones para lo mismo, con la diferencia principal de que $dx dy dz$ se compromete a utilizar un sistema de coordenadas cartesianas. Utilizarás esta medida para integrar sobre un volumen. Un ejemplo típico sería tomar una función $f(\vec{r})$ e integrar sobre alguna región $\Omega$ (por ejemplo, $\Omega$ el interior de una esfera) $$\begin{equation} \int_\Omega dV f(\vec{r}) = \int_\Omega d^3 \vec{r} f(\vec{r}) = \int dx \int dy \int dz f(x,y,z) \end{equation}$$ Nota que en la última línea he expandido intencionalmente la integral de volumen en tres integrales sobre coordenadas cartesianas y expresé los argumentos de $f$ como 3 valores de coordenadas en lugar de un valor de vector.

• Un elemento de línea valuado en vector se representa por $d\vec{r}$. Este es un factor de medida para una integral de línea. Una integral de línea es la integral de una función vectorial sobre un camino unidimensional $\Gamma$ a través de un espacio más grande. Por ejemplo, tal vez estés calculando el trabajo realizado cuando integras la fuerza $\vec{F}$ a lo largo de algún camino $\Gamma$ que va desde el punto $A$ hasta el punto $B$, parametrizado por $\lambda$. Un ejemplo típico de una integral de línea sería \begin{equation} \int_\Gamma d\vec{r} \cdot \vec{F}(\vec{r}) = \int d\lambda \left(\frac{d\vec{r}}{d\lambda} \cdot \vec{F}(\vec{r})\right) = \int d \lambda \left(\frac{dx}{d\lambda} F_x + \frac{dy}{d\lambda}F_y + \frac{dz}{d\lambda}F_z\right) donde el camino $\Gamma$ está descrito por la función $\vec{r}(\lambda)=x(\lambda) \hat{e}_x + y(\lambda) \hat{e}_y + z(\lambda) \hat{e}_z$, y $\hat{e}_i$ es un vector unitario en la dirección $i$-ésima.