$\sum_{n=0}^\infty \frac{(1+\frac{1}{n})^n\cdot n!}{n^n}x^n$ probar si converge o diverge para $x=-e$

Question

$$\sum_{n=0}^\infty \frac{(1+\frac{1}{n})^n\cdot n!}{n^n}x^n$$

Hola, esta serie de potencias tiene un radio de $e$, pero no puedo concluir si diverge o converge en $x = -e$, no logré escribirlo formalmente. Me gustaría recibir pistas o una solución válida, gracias.

Answer 1

Puedes probar que $a_n=\frac{(1+\frac{1}{n})^n\cdot n!}{n^n}e^n$ es una sucesión estrictamente creciente. Por lo tanto, su límite no es cero y esto implica que tu serie es divergente! $$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(1+\frac{1}{n+1})^{n+1}\cdot (n+1)!}{{(n+1)}^{n+1}}e^{n+1}\frac{n^n}{e^n(1+\frac{1}{n})^n\cdot n!} =\frac{(1+\frac{1}{n+1})^{n+1}}{(1+\frac{1}{n})^n}\frac{e}{(1+\frac{1}{n})^n}>1.$$ Aquí la sucesión $\{(1+\frac{1}{n})^n\}$ es estrictamente creciente y tiende a $e$.

Answer 2

Ten en cuenta que

$$\tag 1\ln \left (\frac{n!e^n}{n^n}\right ) = \sum_{k=1}^{n} \ln k + n - n\ln n.$$

Ahora $\ln x$ es creciente, y esto implica que $\sum_{k=1}^{n} \ln k \ge \int_1^n \ln x\, dx.$ Esa integral es igual a $n\ln n -n +1.$ Por lo tanto, la expresión en $(1) $ es al menos $1.$ Por lo tanto, $\dfrac{n!e^n}{n^n}$ es al menos $e,$ lo que implica que tu serie diverge.

Answer 3

Usa la aproximación de Stirling como señalado por @Robert Z $$n! \sim \sqrt{2 \pi n} \frac{n^n}{e^n}$$ Así que $$ \sum_{n=0}^\infty \frac{(1+\frac{1}{n})^n\cdot n!}{n^n}x^n \sim \sqrt{2 \pi}\sum_{n=0}^\infty f(n)$$ donde $$f(n) = (1+\frac{1}{n})^n\cdot \sqrt{ n} \frac{1}{e^n}x^n$$ Para $x = -e$, tenemos $$f(n) = (-1)^n(1+\frac{1}{n})^n\cdot \sqrt{ n} $$ Consideremos Trabajemos con $\vert f(n) \vert$ $$g(n) = \log \vert f(n) \vert = \underbrace{n \log(1+\frac{1}{n})}_{\rightarrow 1} + \underbrace{\frac{1}{2} \log n}_{\rightarrow \infty} \rightarrow +\infty$$ Entonces $$\vert f(n) \vert \rightarrow + \infty \neq 0$$ Por lo tanto, la serie diverge.

Answer 4

$f_m(x) =\sum_{n=1}^{m} \frac{(1+\frac{1}{n})^n\cdot n!}{n^n}x^n $

(Lo usual)

$\begin{array}\\ (1+1/n)^n &=\exp(n\ln(1+1/n))\\ &=\exp(n(1/n-1/(2n^2)+O(1/n^3)))\\ &=\exp(1-1/(2n)+O(1/n^2))\\ &=e\exp(-1/(2n)+O(1/n^2))\\ &=e(1-1/(2n)+O(1/n^2))\\ \end{array} $

entonces, ya que $n! \approx cn^{n+1/2}e^{-n} $,

$\begin{array}\\ f_m(x) &=\sum_{n=1}^{m} \dfrac{(1+\frac{1}{n})^n\cdot n!}{n^n}x^n\\ &=\sum_{n=1}^{m} \dfrac{(e(1-1/(2n)+O(1/n^2)))\cdot n!}{n^n}x^n\\ &=\sum_{n=1}^{m} \dfrac{e n!}{n^n}x^n -\sum_{n=1}^{m} \dfrac{e\cdot n!}{2n\cdot n^n}x^n +O(\sum_{n=1}^{m} \dfrac{ n!}{n^2n^n}x^n)\\ &=\sum_{n=1}^{m} \dfrac{e cn^{n+1/2}e^{-n}}{n^n}x^n -\sum_{n=1}^{m} \dfrac{e\cdot cn^{n+1/2}e^{-n}}{2n\cdot n^n}x^n +O(\sum_{n=1}^{m} \dfrac{ cn^{n+1/2}e^{-n}}{n^2n^n}x^n)\\ &=ec\sum_{n=1}^{m} \sqrt{n}(x/e)^n -(ec/2)\sum_{n=1}^{m} n^{-1/2}(x/e)^n +O(\sum_{n=1}^{m} n^{-3/2}(x/e)^n)\\ \end{array} $

En $x=e$, la tercera serie converge, la segunda serie diverge lentamente como $\sqrt{m}$, y la primera serie diverge como $m^{3/2}$.

Entonces la suma total diverge.

Esto se cumple incluso si tomamos más términos en la aproximación de Stirling, ya que la primera suma permanece igual y solo la segunda suma cambia.

Answer 5

Una condición necesaria para que una serie $\sum _{k=0} ^{\infty} a_k $ converja es que $\lim _{k \rightarrow \infty} a_k =0 $. Puedes demostrar que esta condición no se cumple para $x=-e$, por lo tanto, la serie de potencias diverge en $x=-e$. De hecho, utilizando la aproximación de Stirling $a_k \approx e\sqrt{2\pi k} \left( \frac{x} {e} \right) ^k$ para $k \rightarrow \infty$.