Subconjunto de $\mathbb{R}^n$ homeomorfo a $\mathbb{R}^n$

Question

Sea $X$ un subconjunto de $\mathbb{R}^n$. La topología en $X$ es inducida por la topología de $\mathbb{R}^n$. Si existe un homeomorfismo de $X$ sobre $\mathbb{R}^n$, ¿es cierto que $X$ es abierto en $\mathbb{R}^n$? Yo creo que sí, pero ¿cómo se puede demostrar? (por supuesto, $X$ es abierto en $X).

Si $x \in X$, $H_{n-1}(\mathbb{R}^n-\{f(x)\})= \mathbb{Z}$ entonces $H_{n-1}(X-\{x\})= \mathbb{Z}$, pero no sé cómo continuar.

Gracias de antemano.

Answer 1

Sí, este es un caso especial del teorema de Brouwer de invarianza del dominio.

Answer 2

Supongamos que $X$ no es abierto en $\mathbb{R}^{n}$. Entonces puedes encontrar un punto en $p\in X$ tal que \begin{equation}B(p,\epsilon)\cap X^{C}\neq \emptyset,\ \forall \epsilon>0\end{equation}

donde $B(p,\epsilon)$ es la bola abierta con centro en $p$ y radio $\epsilon$. Sea $f:X\rightarrow\mathbb{R}^{n}$ el homeomorfismo. Elije $q\in\mathbb{R}^{n}$ tal que $f^{-1}(q)=p$. Toma $\delta>0$ y considera el conjunto $f^{-1}(B(q,\delta))$.

Por el teorema de invariancia (señalado por Chris Eagle) $f^{-1}(B(q,\delta))$ es un conjunto abierto tal que $p\in f^{-1}(B(q,\delta))$. Pero esto es un absurdo porque como vimos, hay algún $\epsilon>0$ tal que $B(p,\epsilon)\subset f^{-1}(B(q,\delta))$ y $B(p,\epsilon)\cap X^{C}\neq \emptyset$

Por lo tanto, $X$ es abierto en $\mathbb{R}^{n}$.