Sea $V$ un subconjunto abierto y conectado de $\mathbb R^2$, ¿es cierto que para cada conjunto compacto $K \subseteq V$, existe un conjunto compacto $A$ y un conjunto abierto y conectado $B \subseteq \mathbb R^2$ tal que $K \subseteq B \subseteq A \subseteq V$?
Respuesta
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tariqsheikh
Puntos
58
Sí, esto es verdad.
Para la prueba, el primer paso es elegir un conjunto compacto $K'$ tal que $K \subset K' \subset V$ y $K'$ tenga solo un número finito de componentes. Para hacer esto, usa la compacidad para obtener un número finito de bolas abiertas $B(x_i,r_i) \subset V$ centradas en puntos $x_i \in K$ de manera que las bolas de medio radio $B(x_i,r_i/2)$ cubran $K$, y luego toma $$K' = \bigcup_i \overline{B(x_i,r_i/2)} $$ Dado que $K'$ es una unión de un número finito de conjuntos conectados, $K'$ tiene un número finito de componentes.
Luego, elige un conjunto compacto $K''$ tal que $K' \subset K'' \subset V$ y $K''$ es conexo: enumera las componentes $K'=K'_0 \cup K'_1 \cup\cdots\cup K'_M$, para cada $m=1,\ldots,M$ deja $\gamma$ ser la imagen de una ruta en $V$ conectando un punto de $K'_0$ a un punto de $K'_m$, y deja $$K'' = K' \cup \bigcup_{m=1}^M \text{imagen}(\gamma_m) $$
Finalmente, toma un número finito de bolas abiertas $B(y_j,s_j) \subset V$ centradas en puntos $y_j \in K''$ de manera que las bolas de medio radio $B(y_j,s_j/2)$ cubran $K''$, y toma $$B = \bigcup_j B(y_j,s_j/2) \quad\text{y}\quad A = \overline B $$ Dado que $B$ es una unión de conjuntos abiertos, es abierto. Además, dado que $B$ es una unión de un conjunto conectado (es decir, $K''$) con una colección de conjuntos conectados cada uno conteniendo un punto de $K''$, $B$ es conexo.
