Funcional de la Ecuación de $f(x-y)+f(y-z)+f(z-x)=2f(x+y+z)$

Question

La siguiente ecuación funcional resultó muy difícil.

$1.$ $f(x)$ es un polynominal con el real coeffecients.

$2.$ $f(1)=2,f(2)=20$.

$3.$ Cuando por real $x,y,z$ cumple la condición $xy+yz+zx=0$, $$f(x-y)+f(y-z)+f(z-x)=2f(x+y+z)$$

Encontrar $f(x)$ que satisface todos los requisitos arriba mencionados.

Mientras que es fácil adivinar que $f(x)=x^4+x^2$, lo que demuestra resultó difícil.

En primer lugar, poniendo en $(x,0,0)$ nos da ese $f(-x)=f(x)$.

Segundo, poniendo en $(0,0,0)$ nos da $f(0)=0$

También he sustituido $f(x)=g(x^2)$. Sin embargo, yo era capaz de progresar no lejos de aquí. Cualquier ayuda se agradece.

Answer 1

Después de algunos comentarios de Michael, y tras un examen ulterior, yo era capaz de formular una solución.

$f(x-y)+f(y-z)+f(z-x)=2f(x+y+z)$. Si $f(x)=g(x^2)$, esto nos da que $g(x^2-2xy+y^2)+g(y^2-2yz+z^2)+g(z^2-2zx+x^2)=2g(x^2+y^2+z^2)$.

El hecho de que $xy+yz+zx=0$. Si $x-y=s,y-z=t$,$x-z=s+t$. Esto nos da que $xy+yz+zx=(y+s)y+y(y-t)+(y+s)(y-t)=3y^2+2(s-t)y-st=0$. $b^2-4ac=4(s^2+st+t^2)>0$. Por lo tanto, tal $y$ siempre existe.

Observe que $s^2+st+t^2=x^2-2xy+y^2+y^2-2yz+z^2-zx-y^2+xy+yz=x^2+y^2+z^2$

A continuación, $g(s^2)+g(t^2)+g(s^2+2st+t^2)=2g(s^2+st+t^2)$ nos da ese $2g(s^2)+g(4s^2)=2g(3s^2)$. Si el grado de $g(x)$$n$, comparando el coeffecients darnos ese $2 \times 1 +4^n=2 \times 3^n$. La única solución para esto es $n=1,2$. Es fácil pasar de aquí.