$M$ es orientable si y solo si $\bigwedge^n TM \setminus \{ \text{$0$-sección} \}$ tiene $2$ componentes conexas

Question

Sea $M$ una variedad de dimensión $n$. Decimos que $M$ es orientable si tiene un $n$-forma que no se anula en ningún punto de $M$. Mi pregunta es acerca de la siguiente afirmación:

$M$ es orientable si y solo si $\bigwedge^n TM \setminus \{ \text{sección $0$}\}$ tiene $2$ componentes conexas.

¿Es cierto? En caso afirmativo, ¿cómo puedo verlo?

Answer 1

Si $M$ no está conectado, entonces obviamente no es cierto. Sin embargo, en este caso podemos considerar cada componente por separado.

Sabemos que $M$ es orientable si y solo si el fibrado de línea $\bigwedge^n TM$ es trivial. Consulte, por ejemplo, https://unapologetic.wordpress.com/2011/08/25/oriented-manifolds/.

Ahora supongamos que $M$ es conectado.

Si $M$ es orientable, entonces $\bigwedge^n TM \setminus \{ \text{$0$-sección}\} \approx M \times \mathbb{R} \setminus \{ \text{$0$-sección}\} = M \times (\mathbb{R} \setminus \{ 0 \})$ tiene dos componentes conexas.

Para demostrar la recíproca, elija una métrica de Riemann en $M$. Esto induce una métrica en el fibrado de línea $\bigwedge^n TM$ y proporciona un fibrado de esferas $S(M) = S(\bigwedge^n TM) \subset \bigwedge^n TM$. Consiste exactamente en dos puntos distintos de cero en cada fibra. La proyección del fibrado $\pi : \bigwedge^n TM \to M$ se restringe a un mapa $p : S(M) \to M$ que obviamente es un recubrimiento de $2$ hojas. Si $\bigwedge^n TM \setminus \{ \text{$0$-sección}\}$ tiene dos componentes, entonces $S(M)$ también las tiene. Sea $S_+(M)$ una de estas componentes. Luego, $p$ se restringe a un recubrimiento de $1$ hoja $p_+ : S_+(M) \to M$. Esto debe ser un homeomorfismo. La inversa $s$ de $p_+$ le brinda una sección no nula de $\bigwedge^n TM.