Una mezcla uniforme de estadísticas de pedido

Question

Sea $0 enteros, y sea $X$ una variable aleatoria obtenida de la siguiente manera: muestrear $n$ puntos de forma independiente y uniforme en el intervalo unitario, y seleccionar (de forma uniforme) uno de los $k$ puntos más a la izquierda. La distribución de $X$ es, por lo tanto, una mezcla uniforme de estadísticas de orden, con una función de densidad de probabilidad dada por $$f(x) =\frac{1}{k}\sum_{i=1}^{k}n\binom{n-1}{i-1}x^{i-1}(1-x)^{n-i} $$ Al final, dibujo una imagen de la función de densidad de probabilidad para $n=20$ y $k=9$.

Mi pregunta es, ¿existen expresiones más simples que aproximen esto bien? Tiene una forma de S natural, así que me pregunto si es similar a una curva logística, por ejemplo.

Answer 1

Para $x\in(0,1)$, $$f(x)=\frac nk\,F_{n-k,k}(1-x),$$ donde $F_{n-k,k}$ es la función de distribución acumulada de la distribución beta con parámetros $n-k,k$. A partir de aquí, se pueden obtener varias aproximaciones. Ver por ejemplo Wikipedia.

También, se puede utilizar el teorema del límite central para la distribución beta (basado en el método delta o en la asintótica de la integral beta; cf. MathSE) para obtener lo siguiente: Si $n\to\infty$, $k\sim an$ para algún $a\in(0,1)$, y $(a-x)\sqrt n\to y\in\mathbb R$, entonces $$f(x)\to\frac1a\,\Phi\Big(\frac y{\sqrt{(1-a)a}}\Big),$$ donde $\Phi$ es la función de densidad normal estándar.

Aquí están los gráficos de $\{(y,f(a-y\sqrt n))\colon|y|<3\sqrt{(1-a)a}\}$ (rojo) y $\{(y,\frac1a\,\Phi\big(\frac y{\sqrt{(1-a)a}}\big))\colon|y|<3\sqrt{(1-a)a}\}$ (azul) para $n=20$, $k=6$ y $a=k/n=.3$: