Según la ley de Coulomb, sabemos que $\epsilon_0$ significa permitividad en el espacio libre. Su unidad es $\rm C^2 N^{-1} M^{-2}$ (coulombios al cuadrado por Newton por metro cuadrado). Pero, ¿qué significa físicamente?
Por ejemplo, una presión de 1 Pa significa 1 newton de fuerza aplicado perpendicularmente sobre 1 metro cuadrado de área. De manera similar, ¿podría alguien describir $\epsilon_0$?
Viene de la ley electrostática de Coulomb:
$$F = \frac{1}{4\,\pi\,\epsilon_0}\,\frac{q_1\,q_2}{r^2}$$
para la fuerza entre dos cargas $q_1,\,q_2$ separadas por una distancia $r$.
Entonces $(4\,\pi\,\epsilon_0)^{-1}$ es simplemente la fuerza entre dos cargas de un culombio cada una separadas a una distancia de 1 metro. El término ${\rm C^2}$ en la definición de la unidad significa que si una de las cargas se multiplica por un factor, la fuerza escala de manera proporcional: si ambas se multiplican por el mismo factor, la fuerza escala por ese factor al cuadrado (observa el lado derecho de la ecuación). Asimismo, el término ${\rm m^{-2}}$ en la definición significa que la fuerza escala inversamente con la distancia al cuadrado (de igual manera un término de presión tiene $m^{-2}$ en sus unidades porque si se multiplican las longitudes de los lados del cuadrado sobre el que actúa la fuerza, se disminuirá la fuerza por ese factor al cuadrado). Así que si reorganizas la ecuación como $F r^2\,q_1^{-1}\,q_2^{-1} = (4\,\pi\,\epsilon_0)^{-1}$ ambos lados deben tener las mismas unidades, de ahí las unidades que ves.
En cuanto al porqué llamamos a la constante de escala $(4\,\pi\,\epsilon_0)^{-1}$ en lugar de algún constante simple $G`, bueno eso es simplemente una cuestión de gusto. Hace que otra forma de la ley (ley de Gauss) sea más fácil de escribir. Pero un sistema perfectamente definido de constantes físicas podría haber sido definido con la constante definida de forma "más simple". De hecho, en la ley de gravitación universal de Newton (que también es una ley de inverso del cuadrado), ¡ese es el camino que los volubles físicos históricamente hemos elegido tomar!
Tal vez una respuesta un poco más fácil de seguir, basada en el sitio web de Quora
La permitividad del espacio libre es un número que nos permite describir qué tan fácil (o qué tan difícil) es para las líneas eléctricas de fuerza pasar a través del aire, agua o cualquier otro medio.
Se llama permitividad debido a cuánto una sustancia dada "permite" que las líneas de campo eléctrico (o magnético en el caso del magnetismo) pasen a través de ellas.
Imagina una carga positiva colocada en el espacio libre, sabes que todas sus líneas de fuerza están dirigidas hacia afuera con distancias iguales entre ellas, pero si colocamos un material a través del cual las líneas de campo eléctrico pasen más fácilmente que en el espacio libre, entonces su permitividad es mayor en comparación con el espacio libre y, por lo tanto, más líneas de fuerza eléctrica pasarán a través de él, y lo más importante es que varía con la variación del medio.
Así que para algunas sustancias, las líneas de campo eléctrico pasarán fácilmente a través de ellas, y para otras, dependiendo de su composición, no lo harán.
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