Una métrica divertida sobre $\mathbb{N}$

Question

$\DeclareMathOperator{\lcm}{\operatorname{mcm}}$ Manipulando con números me di cuenta de que para enteros positivos $x$ e $y$, la cantidad $$\Vert x,y \Vert=\frac{\operatorname{lcm}(x,y)}{\operatorname{mcd}(x,y)}$$ tiene estas propiedades:

• $\Vert x,y \Vert=1\iff x=y$;
• $\Vert x,y \Vert \leq\Vert x,z\Vert\Vert z,y \Vert$ para cualquier entero positivo $z$.

En particular $\log\Vert x,y \Vert$ define una métrica sobre $\mathbb{N}^*$.

No pude encontrar nada relacionado en línea. ¿Alguien sabe si este operador $\Vert\cdot,\cdot\Vert$ aparece en algún lugar de la literatura? ¿O al menos te recuerda algo, quizás relacionado con los números $p$-ádicos?

Answer 1

Este métrica se menciona en la Enciclopedia de distancias (Capítulo 10.3), escrito por Michel Marie Deza y Elena Deza. Aquí está el párrafo relevante:$\newcommand{\lcm}{\operatorname{lcm}}$

Sea $\mathbb{L}= (L,\preceq,\vee, \wedge)$ un retículo, y sea $v$ una subvaluación isotónica en $\mathbb{L}$. La semimétrica de subvaluación de retículo $d_v$ en $L$ se define como $$2v(x \vee y)-v(x)-v(y).$$ (También se puede definir en algunos semirretículos). Si $v$ es una subvaluación positiva en $\mathbb{L}$, se obtiene una métrica, llamada la semimétrica de subvaluación de retículo. Si $v$ es una valuación, $d_v$ se llama la semimétrica de valuación y se puede escribir como $$v(x \vee y)-v(x \wedge y)=v(x)+v(y)-2 v(x \vee y).$$ Si $v$ es una valuación positiva en $\mathbb{L}$, se obtiene una métrica, llamada la semimétrica de valuación de retículo, y el retículo se llama un retículo métrico.

Si $L= \mathbb{N}$ (el conjunto de enteros positivos), $x\vee y= \lcm(x,y)$ (mínimo común múltiplo), $x\wedge y = \gcd(x,y)$ (máximo común divisor), y la valuación positiva $v(x)= \ln x$, entonces $d_v(x,y)= \ln \frac{\lcm(x,y)}{\gcd(x,y)}$.

Esta métrica se puede generalizar en cualquier anillo factorial (es decir, que tenga factorización única) equipado con una valuación positiva $v$ tal que $v(x) \geq 0$ con igualdad solo para la unidad multiplicativa del anillo, y $v(xy)=v(x)+v(y).$ Véase semimétrica de anillo.

Answer 2

Como indicado por @MartinSleziak la función

$$f(x,y):=\frac{xy}{\gcd(x,y)^2} = \frac{\operatorname{lcm}(x,y)}{\gcd(x,y)}$$

tiene propiedades interesantes, por ejemplo como se indica en esta pregunta sobre la conjetura abc:

$$k(x,y):=1/f(x,y) = \frac{\gcd(x,y)^2}{xy}$$

es un núcleo positivo definido sobre los números naturales.

(Esto se puede ver directamente al mapear los números naturales en el espacio de Hilbert de series como se está haciendo en esta pregunta: Sea $e_d$ el vector de base estándar $d$-ésimo en el espacio de Hilbert $H=l_2(\mathbb{N})$. Sea $h(n) = J_2(n)$ la segunda función totient de Jordan, definida por:

$$J_2(n) = n^2 \prod_{p|n}(1-1/p^2).$$ Definamos:

$$\phi(n) = \frac{1}{n} \sum_{d|n}\sqrt{h(d)} e_d.$$

Luego tenemos:

$$ \left < \phi(a),\phi(b) \right > = \frac{\gcd(a,b)^2}{ab}=:k(a,b).)$$

Otro uso de la función $f$ que indicas es hacer que los divisores unitarios formen un anillo booleano:

Sea $n$ un número natural, $U_n := \{ d \mid d \text{ divide } n, \gcd(d,n/d)=1\}$ el conjunto de divisores unitarios.

Podemos hacer que $U_n$ sea un anillo booleano:

$$a \oplus b := \frac{ab}{\gcd(a,b)^2} = \frac{\operatorname{lcm}(a,b)}{\gcd(a,b)}$$ y $$a \otimes b := \gcd(a,b).$$

Otra demostración interesante de que la función $k$ es positiva definida sobre los números naturales viene de la respuesta de Rodrigo a Trigonometría / Geometría Euclidiana para números naturales?.

He usado este núcleo para definir la simplicidad de la relación en la consonancia musical: Medición de la Similitud de Notas con Núcleos Positivos Definidos y generar música algorítmica basada en esto (Sonido de los vecinos más cercanos).

Otro uso de este núcleo o relacionado es generar fórmulas para el número circular $\pi$ como se indica aquí: Algunas Fórmulas Para Pi.

Answer 3

No es una respuesta, pero me llamó la atención la "forma" de los números determinada por esta métrica. Aquí tienes un gráfico t-SNE de los números del 1 al 256. Como con cualquier proyección de este tipo, la geometría está bastante distorsionada. Pero aún se pueden apreciar algunas estructuras interesantes, como en el grupo de números de la forma $2^a3^b$ en la parte inferior derecha.

Los números están coloreados por el logaritmo del menor factor primo. (Los grandes primos se desvanecen un poco, pero se entiende la idea.)