Resolver para $x$ cuando $\sin 2x = \cos x$ donde $x$ está en el dominio $[0, 2\pi]$

Question

Pregunta rápida sobre trigonometría (con la que no he tratado en mucho tiempo):

dado que $\sin 2x = 2\sin x\cos x $

$2\sin x\cos x = \cos x$

$2\sin x\cos x/\cos x = 1$

$\sin x = 1/2$

dado que $\sin x = 1/2$ en los cuadrantes $1$ y $2$, $x = \pi/6$ y $x = 5\pi/6$

¿Es esto correcto? Si no, ¿puedes darme una pista, por favor?

Answer 1

Después de obtener $$2\sin x\cos x=\cos x,$$ no se puede dividir ambos lados por $\cos x$ porque $\cos x$ puede ser cero.

Por lo tanto, tenemos $$2\sin x\cos x-\cos x=0\iff \cos x(2\sin x-1)=0\iff \cos x=0\ \text{or}\ 2\sin x-1=0.$$

Answer 2

Solución generalizada:

$$\sin ax=\cos bx$$ por ejemplo, $\sin\dfrac{3x}2=\cos5x$ también se puede abordar de esta manera

Método $\#1$:

$$\cos bx=\sin\left(\frac\pi2-bx\right)\implies\sin ax=\sin\left(\frac\pi2-bx\right)$$

$$\implies ax=n\pi+(-1)^n\left(\frac\pi2-bx\right)$$ donde $n$ es cualquier entero

Si $n$ es impar, $=2m+1$(digamos), $ax=(2m+1)\pi-\left(\dfrac\pi2-bx\right)\implies x=\dfrac{(4m+1)\pi}{2(a-b)}$

Si $n$ es par, $=2m$(digamos), $ x=\dfrac{(4m+1)\pi}{2(a+b)}$

Ahora necesitamos encontrar los valores de $m$ tales que $0\le x\le2\pi$

Método $\#2$:

$$\sin ax=\cos\left(\frac\pi2-ax\right) \implies\cos bx=\cos\left(\frac\pi2-ax\right)$$

$$\implies bx=2r\pi\pm\left(\frac\pi2-ax\right)$$ donde $r$ es cualquier entero

Verificar el signo '+', '-' uno por uno