Existencia de factorización epi/mono: una difícil persecución de diagramas

Question

Estoy tratando de demostrar que en una categoría regular $ \mathcal C $ cualquier morfismo $ f\colon X\to Y $ tiene una factorización epi/mono. Puedo probar este hecho fácilmente por mi cuenta, aparte de un único diagrama que se está burlando de mí.

Me apresuraré a la parte problemática de la prueba. Tomemos $ f\colon X\to Y $, tomemos su par núcleo $ (p_1,p_2) $, y colimemos como $$ X\times_Y X\rightrightarrows X\xrightarrow{c}C\text{.} $$ Ahora obviamente hay una flecha $ i\colon C\to Y $ tal que $ f = ic $, ya que $ f $ hace cola a su par núcleo. En este punto, todo lo que queda por hacer es mostrar que $ i $ es un mono. Lo haremos demostrando que el par núcleo $ (q_1,q_2) $ está compuesto por dos flechas iguales $ q_1 = q = q_2 $. Observa que existe una flecha única $ \phi $ del pullback $ X\times_Y X $ al pullback $ C\times_Y C $ tal que $$ cp_1 = q_1\phi\text{,}\qquad cp_2 = q_2\phi $$ (dibuja el diagrama). Si podemos mostrar que $ \phi $ es un epi, estamos listos, ya que $ c $ colimiza $ p_1 $ y $ p_2 $.

En este punto, la fuente donde estoy estudiando este tema me muestra este gran diagrama $$ \require{AMScd} \begin{CD} X\times Y X @>>> C\times_Y X @>>> X\\ @VVV @VVV @VV{c}V\\ X\times_C C @>>> C\times_Y C @>>{q_2}> C\\ @VVV @VV{q_1}V @VV{i}V\\ X @>>{c}> C @>>{i}> Y \end{CD} $$ y afirma que $ \phi $ es un epi ya que es el compuesto de dos epis.

Sé acerca del lema de los "dos pullbacks" y de alguna manera confío en que lo que necesito saber para demostrar lo que quiero probar está realmente contenido en ese gran diagrama. Sin embargo, me gustaría ver una explicación más detallada de este último paso.

Answer 1

Aquí tienes una versión anotada del diagrama:

$$ \require{AMScd} \begin{CD} X\times_Y X@>\alpha>>C\times_Y X @>\zeta>> X\\ @V\beta VV @VV\gamma V @VV{c}V\\ X\times_C C @>\delta>> C\times_Y C @>>{q_2}> C\\ @V\epsilon VV @VV{q_1}V @VV{i}V\\ X @>>{c}> C @>>{i}> Y \end{CD} $$

En este diagrama hay muchas cosas que quedan implícitas. Por supuesto, el cuadrado de abajo a la derecha es un cuadrado de pullback por definición. Los cuadrados de abajo a la izquierda y arriba a la derecha también están definidos (o "creados") como pullbacks (bueno, podrías definir $\delta$ y $\epsilon$ a partir del pullback de $i$ y $ci$, justificando la notación $X\times_C C$, pero esto es equivalente por el lema de pullback). Por axioma, dado que $c$ es obviamente un epimorfismo regular, tanto $\gamma$ como $\delta$ son (regulares) epimorfismos.

La flecha $\phi:X\times_Y X\to C\times_Y C$ satisface $q_1\phi=cp_1$, por lo tanto $\langle p_1,\phi\rangle$ define una flecha única $\beta:X\times_Y X\to X\times_C C$ haciendo que $\epsilon\beta=p_1$ y $\delta\beta=\phi$. De manera similar, $\langle\phi,p_2\rangle$ define una flecha única $\alpha:X\times_YX\to C\times_Y X$ tal que $\zeta\alpha=p_2,\,\gamma\alpha=\phi=\delta\beta$.

Para concluir que $\phi=\delta\beta=\gamma\alpha$ es un epimorfismo, sabiendo que $\delta,\gamma$ son epimorfismos regulares, basta con demostrar que el cuadrado de arriba a la izquierda es un cuadrado de pullback ya que esto implicaría que $\alpha,\beta$ son (regulares) epimorfismos.

Entonces, digamos que $u:Z\to X\times_C C$ y $v:Z\to C\times_Y X$ son tales que $\gamma v=\delta u$. Usando $f=ci$ y moviéndose repetidamente a través de los cuadrados conmutativos se muestra que $f\circ\epsilon u=f\circ\zeta v$, por lo que estos inducen una flecha única $w:Z\to X\times_Y X$ con $\epsilon\beta w=p_1w=\epsilon u$ y $\zeta\alpha w=p_2w=\zeta v$. Este razonamiento proporciona el criterio de unicidad de un cuadrado de pullback, por lo que queda por demostrar que $\beta w=u$ y $\alpha w=v$. Dado que $\beta w,u:Z\to X\times_C C$ están determinados por sus componentes en cada factor del producto fibrado (pullback), basta con mostrar que $\epsilon\circ\beta w=\epsilon\circ u$ (lo cual ya sabemos) y $\delta\circ\beta w=\delta\circ u$. $\delta\beta w=\phi w=\gamma\alpha w$ es una flecha $Z\to C\times_Y C$ y esto está determinado por sus componentes en cada factor.

Observamos que $q_1\phi w=cp_1 w=c\epsilon u=q_1\delta u$ y $q_2\gamma\alpha w=c\zeta\alpha w=c\zeta v=q_2\gamma v=q_2\delta u$, por lo tanto, $\delta\circ\beta w$ y $\delta\circ u$ tienen los mismos componentes $q_1,q_2$ y son iguales; por lo tanto, $\beta w,u$ tienen los mismos componentes $\epsilon,\delta$ y son iguales.

Una búsqueda similar muestra que $\alpha w=v$ como se deseaba. Supongo que esto es como un lema de pullback $2$-dimensional, que no he visto antes. Entonces, el rincón de arriba a la izquierda es un pullback, por lo tanto, $\alpha,\beta$ son epimorfismos regulares y $\phi$ es un compuesto de epimorfismos, por lo tanto, también es un epimorfismo.