Descomposición del Hamiltoniano de la banda en la suma de dos Hamiltonianos de banda.

Question

La pregunta principal es, ¿de dónde proviene este Hamiltoniano?

$$ H(\mathbf{k}) = \left( \begin{matrix} d_0 + d_z(\mathbf{k}) & d_x(\mathbf{k}) - id_y(\mathbf{k})\\ d_x(\mathbf{k}) + id_y(\mathbf{k}) & d_0 - d_z(\mathbf{k}) \end{matrix} \right)$$

¿De dónde proviene?

En muchos textos se introduce como una transformada de Fourier de un Hamiltoniano cuántico de primera cuantificación. Recientemente, me han dicho que un Hamiltoniano de banda puede descomponerse en dos Hamiltonianos de banda como el de arriba, con una transformada de Fourier previa de la ecuación de Schrödinger. Básicamente, no sé cómo proceder para obtenerlo, y cuál es el punto de partida.

Y tengo otra pregunta: un profesor me dijo (él no quiere explicar, no me preguntes por qué) que la topología del Hamiltoniano es un toro para CADA punto $\mathbf{k}$. Me quedó claro que la periodicidad en el espacio recíproco se puede ver como un toro, pero esa afirmación me dejó atónito y simplemente no la entiendo.

Answer 1

La banda Hamiltoniana es la reducción de la imagen de bandas de valencia y conducción como un sistema de dos niveles. Cualquier sistema de dos niveles se puede ver como un estado de espín de un medio, utilizando las matrices de Pauli. La representación se llama la representación en la esfera de Bloch. Es principalmente una simplificación de la posiblemente complicada estructura de bandas para describir la posibilidad de abrir un intervalo de bandas alrededor del nivel de Fermi.

Dado que la estructura de bandas surge de las condiciones de contorno periódicas, permitiendo que la representación en el espacio de momentos (o transformada de Fourier) sea válida, los diferentes momentos $k_i$, $i=x,y,z$ están limitados de $0$ a $2\pi$. La estructura de los $k_i$ en el espacio de momentos forma naturalmente un toro, como puedes imaginar. Esta estructura geométrica tiene algunos conceptos topológicos asociados. Los aspectos topológicos que surgieron recientemente tienen la interesante posibilidad de permitir que estados de borde se propaguen en los bordes de los sólidos; estos bordes son estados relacionados con la imposibilidad de realizar la transformada de Fourier en todas partes, ya que la condición de contorno periódica se descompone cuando se corta un sólido. Pero esto va más allá del alcance de tu pregunta, sin embargo, puedes encontrar muchas preguntas interesantes relacionadas con aislantes topológicos en este sitio web.