Demostrando la desigualdad HM-GM usando AM-GM

Question

Quiero demostrar

$$\frac{n}{\frac{1}{a_1} + \cdots + \frac{1}{a_n}} \sqrt[n]{a_1\cdots a_n}$$

Usando la desigualdad AM-GM.

Mi intento:

Consideremos arbitrarios $x_1,\cdots,x_n$. Sabemos que

$$\sqrt[n]{x_1\cdots x_n} \frac{x_1 + \cdots + x_n}{n}$$

Reemplazando todos los $x$ con $\frac{1}{x}$

$$\begin{align}\sqrt[n]{\frac{1}{x_1}\cdots \frac{1}{x_n}} \frac{\frac{1}{x_1} + \cdots + \frac{1}{x_n}}{n} & \implies \frac{1}{x_1}\cdots \frac{1}{x_n} \biggl(\frac{\frac{1}{x_1} + \cdots + \frac{1}{x_n}}{n}\biggr)^{n} \\ & \implies \frac{1}{\frac{1}{x_1}\cdots \frac{1}{x_n}} \frac{1}{\biggl(\frac{\frac{1}{x_1} + \cdots + \frac{1}{x_n}}{n}\biggr)^{n}} \\ & \implies x_1\cdots x_n \frac{1}{\biggl(\frac{\frac{1}{x_1} + \cdots + \frac{1}{x_n}}{n}\biggr)^{n}} \\ & \implies \sqrt[n]{x_1\cdots x_n} \frac{1}{\frac{\frac{1}{x_1} + \cdots + \frac{1}{x_n}}{n}} \\ & \implies \sqrt[n]{x_1\cdots x_n} \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \cdots + \frac{1}{x_n}} \end {align}$$

$\Box$

¿Es correcto? ¿Existen otras alternativas (mejores)?

Answer 1

A)Sí, es correcto.

b) Un método mejor sería tomar los recíprocos en el primer paso, ya que ambos lados son positivos. $$\sqrt[n]{\frac{1}{x_1}\cdots \frac{1}{x_n}} \leq \frac{\frac{1}{x_1} + \cdots + \frac{1}{x_n}}{n}$$ $$\iff \sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}\geq\frac{n}{\frac{1}{x_1} + \cdots + \frac{1}{x_n}}$$

Answer 2

Eso es prácticamente la prueba estándar de que AM-GM implica GM-HM. La única variación entre presentaciones específicas de ellos es cuántos detalles incluir. Por ejemplo, podrías argumentar que puedes simplemente escribir $$\sqrt[n]{\frac{1}{x_1}\cdots \frac{1}{x_n}}\le\frac{\frac{1}{x_1} + \cdots + \frac{1}{x_n}}{n}\implies\sqrt[n]{x_1\cdots x_n}\ge\frac{n}{\frac{1}{x_1} + \cdots + \frac{1}{x_n}}.$$Editar: Este es básicamente el punto mencionado en el comentario de @ViktorGlombik. (Por cierto, puedes obtener $\le,\,\ge$ respectivamente con \le, \ge.)