Supongamos que $vir_{c}= \operatorname{span}\langle L_{-2}v_{c},L_{-3}v_{c},....\rangle$ es un espacio vectorial generado por el álgebra de Virasoro. Entonces tenemos un álgebra simétrica $Sym(vir_{c})$. Para esta álgebra simétrica podemos dotarla de una estructura de álgebra de vértices conmutativa mediante $Y_{+}(a,z)=e^{zL_{-1}}a$. Pero para convertirla en un álgebra de vértices de Poisson, debemos definir $Y_{-}$ en el álgebra simétrica para darle una estructura de álgebra de Lie de vértices. Sé que $Y_{-}(L_{-2}v_{c}，z)=\Sigma_{n\geq -1}L_{n}z^{-n-2}$ donde $L_{n}$ actúa como derivación a través de la relación de conmutación del álgebra de Virasora. Pero no sé cómo definir un caso general, como $Y_{-}(L_{-3}v_{c}.L_{-2}v_{c},z)$. Todas las notaciones provienen del libro álgebras de vértices y curvas algebraicas de Edward Frenkel y David Ben-Zvi capítulo 16.
Respuesta
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Este es un problema de ejercicio y es más apropiado consultarlo en stack exchange. Tu problema es que no sabes cómo evaluar $Y_{-}(a\cdot b,z)$ para $a,b$ arbitrarios en el álgebra de vértices de Poisson (PVA) ya que no está definido por la estructura del álgebra de Lie de vértices (Aquí $\cdot$ denota el producto conmutativo, que es $\circ$ en tu referencia). La respuesta es que tomas otro elemento $c$ en la PVA y consideras $Y_{-}(a\cdot b,z) c$. Usando la propiedad de skew-symmetry (P.268 Def. 16.1.1 en tu referencia) y la propiedad de derivación del PVA (P.271, Def. 16.2.1 en tu referencia) obtendrás la respuesta rápidamente. Sugiero que veas los papers y notas de Kac y sus colaboradores sobre PVA si sientes que tu referencia no te brinda suficiente información. Por ejemplo, las siguientes notas de conferencia de Kac (o su versión publicada por Springer):
https://arxiv.org/abs/1512.00821.
Tu pregunta aparece como Ejercicio 4.2 en la versión de arxiv.
