Imagen inversa del álgebra sigma generado

Question

Tratando de demostrar que, donde $(X,\mathscr{F})$ es un espacio medible,

si $f^{-1}(A) \in \mathscr{F}$ siempre que $A \in \mathscr{A}$,

entonces $f^{-1}(A) \in \mathscr{F}$ siempre que $A \in \sigma(\mathscr{A})$

Deberíamos asumir que $f:X\rightarrow Y$ es una función donde $X \in \mathscr{F}$ es no vacío. Además, $\mathscr{A}$ es una colección de subconjuntos de Y.

Answer 1

Sea $\mathcal{B} = \{A \subset Y: f^{-1}(A) \in \mathscr{F} \}$ la colección de subconjuntos de $Y$ para los cuales se cumple la afirmación. Entonces $\mathcal{B} \supset \mathscr{A}$. Además, $\mathcal{B}$ es un $\sigma$-álgebra porque

$$f^{-1}(\cup_iA_i) = \cup_if^{-1}(A_i)$$ $$f^{-1}(A^c) = (f^{-1}(A))^c.$$

(Ver esto, por ejemplo.)

Por lo tanto $\mathcal{B} \supset \sigma(\mathscr{A})$, entonces $f^{-1}(A) \in \mathscr{F}$ siempre que $A \in \sigma(\mathscr{A})$.