¿A veces Lagrange's theorem implica que hay subgrupos?

Question

Si G es un grupo de orden n, ¿la teoría de Lagrange también implica que hay subgrupos de órdenes que dividen n? Es decir, si tengo un grupo de orden 15, ¿siempre existen subgrupos de orden 1, 3 y 5?

Answer 1

El contraejemplo más simple es que $A_4$, el grupo de permutaciones pares sobre 4 elementos, tiene 12 elementos, pero no contiene subgrupos de orden 6.

Creo que la pregunta general sobre cuándo un grupo $mn$ contiene un subgrupo de orden $n$ sigue siendo un área de investigación abierta. El teorema de Cauchy garantiza que si $p$ es primo, entonces un grupo de orden $pn$ contiene un elemento de orden $p$, y por lo tanto un subgrupo cíclico de orden $p$. Así que en tu ejemplo, cada grupo de orden 15 contiene subgrupos de órdenes 3 y 5. (Y, obviamente, 1.) Como N.S. señaló, los teoremas de Sylow son importantes aquí.

Esta página discute el tema con más detalle, incluyendo algunas otras circunstancias en las que se cumple la equivalencia del teorema de Lagrange. Creo que el artículo de Wikipedia sobre el teorema de Lagrange también discute la equivalencia.

Answer 2

No. Se deduce del Teorema de Lagrange que $G$ tiene subgrupos de orden 3 o 5, pero no puedes decir cuál...

Pero en tu caso, lo que necesitas es el Teorema de Cauchy (o los teoremas de Sylow).