Geométricamente, el determinante de una matriz es el volumen firmado de un cubo unitario después de aplicar la transformación definida por la matriz. Sin embargo, tengo problemas para entender lo que significa el "signo" aquí. Ya que efectivamente los volúmenes son sólo positivos (o cero, pero por ahora no nos preocupemos por ello). Entonces, ¿cuál es el significado geométrico de un determinante negativo? ¿Cómo debo entender el volumen negativo producido por la aplicación de dicha transformación?
Por supuesto no es una explicación en mi opinión. En particular, si por supuesto viene exactamente, donde se debe encontrar una explicación preciser.
5 votos
Significa que la orientación se ha invertido. Empieza usando ejemplos para ver lo que ocurre en dos y tres dimensiones.
2 votos
@TedShifrin ¿Qué significa aquí "orientación"?
0 votos
Piensa en la regla de la derecha, y ve este .
1 votos
He aquí una analogía: Dados dos puntos de la recta real $a,b$ podríamos definir una longitud con signo entre ellos como $b-a$ . Lleva un poco más de información (la orientación, que puede ser positiva o negativa) que sólo la longitud.
0 votos
Me permito discrepar con otros comentaristas aquí. Creo que el signo de un determinante no tiene ningún significado geométrico. Es una propiedad algebraica, no geométrica. Es un artefacto -algo útil- de la definición de determinante: queremos que el determinante sea multilineal en las columnas de la matriz y queremos que sea cero cuando los vectores columna son linealmente dependientes. En consecuencia, los determinantes tienen signo y si intercambiamos dos columnas, el signo se invierte. Aunque podemos interpretar el signo como una especie de orientación en dos o tres dimensiones, esta analogía se rompe en casos de mayor dimensión.
0 votos
Es curioso que cuando uno llama "matriz de rotación" a una matriz ortogonal genérica de tamaño > 3, la gente se apresura a preguntar (probablemente en tono sarcástico) "¿Eh? ¿Rotación sobre qué?". Sin embargo, cuando uno pregunta por qué el signo del determinante se llama (erróneamente, en mi opinión) "orientación", nadie intentará explicar qué significa ese término en cuatro o más dimensiones.
0 votos
@user1551 La definición que prefiero para el determinante de un endomorfismo $T$ es $\underline T(I) = \det(T)I$ donde $\underline T$ es el outermorphism de $T$ y $I$ es un pseudoescalar. Esta fórmula tiene un altamente significado geométrico.