Cómo encontrar el promedio del valor mínimo de dos distribuciones de Poisson?

Question

Tengo dos distribuciones de Poisson con parámetros $\lambda 1$ y $\lambda 2$.
Ahora quiero encontrar el promedio del valor mínimo de estas dos distribuciones.

Quiero decir que si obtengo dos números aleatorios de estas distribuciones y encuentro el mínimo de estos dos valores, y repito este experimento muchas veces, ¿cuál sería el promedio del valor mínimo?

¿Es correcto considerar min ($\lambda 1$, $\lambda 2$) como el valor mínimo?

Agradezco tu ayuda. Es muy importante para mí.

Gracias

Answer 1

Para $i=1,2$ dejemos que $X_i$ sea variables aleatorias independientes distribuidas de manera Poisson con parámetro $\lambda_i$.

Parece que estás preguntando:

"¿Es cierto que en este caso $\mathbb E\min(X_1,X_2)=\min(\mathbb EX_1,\mathbb EX_2)$?"

La respuesta es: "no".

Es evidente que $\min(X_1,X_2)\leq X_1$ y $P(\min(X_1,X_2)0$.

Estas observaciones justifican la conclusión de que $\mathbb E\min(X_1,X_2)<\mathbb EX_1=\lambda_1$.

Del mismo modo encontramos que $\mathbb E\min(X_1,X_2)<\mathbb EX_2=\lambda_2$.

Esto junto implica que $$\mathbb E\min(X_1,X_2)<\min(\lambda_1,\lambda_2)$$