Estoy profundamente confundido acerca de las realizaciones geométricas y los límites finitos. Supongamos que estoy trabajando con conjuntos simpliciales (no necesito espacios simpliciales) que son "buenos" en el sentido de Segal para que pueda tomar una realización geométrica gruesa. Tengo un cuadrado de retroceso ordinario de conjuntos simpliciales:
$W=X\times_ZY$
(a) Aplicando la realización geométrica gruesa, ¿obtengo un cuadrado de retroceso homotópico a partir de él? En caso afirmativo, ¿el cuadrado de retroceso homotópico estará en la categoría de espacios topológicos o en la de espacios topológicos generados compactamente?
(b) Sé que aplicar la realización geométrica ordinaria dará un cuadrado de retroceso en la categoría de espacios de Hausdorff generados compactamente. ¿Un cuadrado de retroceso de este tipo da una secuencia exacta larga de grupos homotópicos?
De hecho, mi pregunta fundamental es cómo podemos obtener una secuencia exacta larga de grupos homotópicos a partir de un cuadrado de retroceso de conjuntos simpliciales?
