Sustitución u muestra 0=1

Question

Esta pregunta/observación está inspirada en la integral:

$$\int_0^{\sqrt{\pi}}x\sin(x^2)\cos(x^2)dx$$

La sustitución $u$ $u=\sin(x^2)$ da como resultado $du=2x\cos(x^2)dx$ y

$$\int_0^{\sqrt{\pi}}x\sin(x^2)\cos(x^2)dx=\frac{1}{2}\int_0^0 u du=0,$$

¿verdad? Wolframalpha está de acuerdo.

Genial, ahora considera la integral mucho más difícil $$\int_0^1 dx.$$

Después de golpear nuestras cabezas contra la pared durante horas, tomamos $u=x^2-x$ entonces $du=(2x-1)dx=\pm\sqrt{1+4u}*dx$ mediante la fórmula cuadrática, por lo tanto

$$\int_0^1 dx=\int_0^0\frac{du}{\pm\sqrt{1+4u}}=0$$

El problema es que wolframalpha dice que esta integral debería ser $1$. Bueno, supongo que es un cuadrado unitario.

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Dado que $0\neq 1$ hay algo raro sucediendo, solo estoy tratando de identificar completamente el problema aquí. Creo que se reduce a una división oculta por $0$ como en la mayoría de las demostraciones falsas. En particular, no podemos resolver la ecuación $du=(2x-1)dx$ para $dx$ si $x=\frac{1}{2}$, lo cual sucede dentro del dominio de integración. Esto no es un problema para la integral original porque incluso aunque hay un lugar donde $\frac{du}{dx}=0$ dentro del dominio de integración $(x=\sqrt{\frac{\pi}{2}})$ no hay problema porque no tenemos que dividir por esta expresión para que todos los $x$ se cancelen. De todos modos, estoy interesado en una explicación más detallada y en saber si existen referencias que expliquen cuidadosamente sutilezas como esta para la integración por sustitución.

Answer 1

Formalmente, la sustitución dice que si $g$ es diferenciable en un intervalo, y $f$ es continua en el intervalo imagen de $g$, entonces

$$ \int_a^b f(g(x)) g'(x) \, dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u) \, du.$$

En nuestro caso, cuando intentamos escribir la integral simple pero problemática en la forma requerida por el lado izquierdo, obtenemos

$$ \int_0^1 \, dx = \int_0^1 \frac1{2x-1}(2x-1)\, dx = \int_0^1 \, \frac1{\pm\sqrt{1+4(x^2 -x)}}(2x-1) \, dx, $$

pero la ambigüedad del signo nos dice que debemos proceder con más cuidado (¿o qué única $f$ elegimos?). De hecho, $2x - 1 = \sqrt{1+4(x^2-x)}$ cuando $x > 1/2$, mientras que $2x - 1 = -\sqrt{1+4(x^2-x)}$ cuando $x < 1/2$. Así que realmente deberíamos haber escrito

$$ \int_0^{1/2} \, \frac1{-\sqrt{1+4(x^2 -x)}}(2x-1) \, dx + \int_{1/2}^{1} \, \frac1{\sqrt{1+4(x^2 -x)}}(2x-1) \, dx,$$ o a través de $u = g(x)$

$$ \int_0^{-1/4} \, \frac1{-\sqrt{1+4u}} \, du + \int_{-1/4}^{0} \, \frac1{\sqrt{1+4u}} \, du = \frac12 + \frac12 = 1,$$

que es la respuesta correcta.