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Sea $Q\in\mathbb C[z_1,\dots,z_D]$ un polinomio primo y sea $Z(Q)$ la hipersuperficie algebraica de sus ceros. Supongamos que $P\in\mathbb C[z_1,\dots,z_D]$ es un polinomio que tiene ceros al menos en $Z(Q)\cap (\mathbb C^*)^D$, donde $\mathbb C^*:=\mathbb C\setminus \{0\}$. Por lo tanto, se anula al menos en la intersección de la hipersuperficie algebraica del polinomio $Q$ con el toro algebraico. La pregunta es: ¿$P$ pertenece al ideal principal de $Q$, $P\in (Q)$?
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Además, sean $Q_1,\dots,Q_N\in\mathbb C[z_1,\dots,z_D]$ polinomios primos diferentes y consideremos su producto $Q:=Q_1\cdots Q_N$. Supongamos un polinomio $P\in\mathbb C[z_1,\dots,z_D]$ que tiene ceros al menos en $Z(Q)\cap (\mathbb C^*)^D$. ¿$P$ pertenece al ideal principal de $Q$, $P\in(Q)$?
Respuesta
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Si $P$ se anula en un subconjunto abierto no vacío $U$ de $Z(Q)$, entonces se anula en todo $Z(Q)$. Esto se debe simplemente a que $Z(P)$ es cerrado, y si $U\subseteq Z(P)$, entonces $Z(Q)=\overline{U}\subseteq Z(P)$. El cierre de cualquier $U$ no vacío es igual a $Z(Q)$ porque $Z(Q)$ es irreducible. Por lo tanto, $P\in \sqrt{\langle Q \rangle}=\langle Q \rangle$ como se requería. Elegimos $U=Z(Q)\cap(\mathbb C^\ast)^D$, que es abierto y no está vacío a menos que tengas $Z(Q)\subseteq Z(z_1\cdots z_D)$. Dado que $Q$ es irreducible, $U$ no está vacío si y solo si $Q\notin\{ z_1,\ldots,z_D \}$.
Para tu segunda pregunta, la respuesta sigue siendo la misma porque todavía tenemos $\sqrt{\langle Q\rangle} = \langle Q\rangle$ y el mismo argumento funciona, siempre y cuando ninguno de los $Q_i$ sea una función de coordenadas: $Z(Q)$ es simplemente la unión de los $Z(Q_i)$ y necesitas asegurarte de que cada una de esas variedades irreducibles interseca $U$ en un subconjunto abierto no vacío.
Sin embargo, nota que si $Q_1=Q_2$, por ejemplo, entonces el ideal generado por $Q$ no es radical.
