Demostrando límites con la definición de epsilon delta

Question

1. Quiero demostrar que $\lim\limits_{x\to 0} \sin\left(\frac{1}{x}\right)$ no existe usando la definición de límites $\epsilon-\delta$. Sé que necesito demostrar algebraicamente que para $0<|x|<\delta$, $|\sin(1/x) - L| < \epsilon$, pero no estoy seguro cómo.

2. ¿Cómo puedes demostrar que $\lim\limits_{x\to 0} x\sin \left(\frac{1}{x}\right) = 0$ usando la definición de límites $\epsilon-\delta$?

Answer 1

Aquí está la definición de límite.

Ambos problemas son fáciles: Estoy dando una pista para el problema $2nd$. $$|f(x)-f(0)|=|xsin\frac{1}{x}|\leq |x-0|<\delta$$ , Elige $\delta=\epsilon$ $$|f(x)-f(0)|\leq \epsilon$$

Answer 2

Para la primera pregunta es suficiente considerar las secuencias $x_n=\frac{1}{2 \pi n}$ y $y_n=\frac{1}{2 \pi n+\frac{\pi}{2}}$. Ambas tienden a $0$ pero $\sin$ tiene valores fijos diferentes $0,1$ en ellas, por lo que no es posible tener límite.

Para la segunda, como ya se mencionó, es suficiente usar $|\sin x| \leqslant 1$ y usar $\lim\limits_{x\to 0} x = 0$.