Esto se preguntó anteriormente en MSE, pero me dijeron que lo preguntara en MO. Considera la estructura $(\mathbb{R};+,-,*,0,1,<)$. Añadimos a ella una función unaria $f$ definida en todos los números reales, para formar la estructura ampliada $(\mathbb{R};+,-,*,0,1,<,f)$. Puedo definir que $f$ es continuo en todas partes mediante una definición complicada que involucra varios cuantificadores (específicamente, la definición estándar es $\forall\forall\exists\forall$). Pero ¿cuál es la complejidad mínima de cuantificadores que sería suficiente para dar una definición que sea equivalente a la definición estándar, junto con la prueba de que es realmente minimal?
Respuesta
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thedeeno
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Es verdaderamente una pregunta muy interesante, una de esas preguntas con una respuesta que uno siente que debe ser correcta, pero no está tan claro al principio cómo probarlo.
No obstante, apuntando a un progreso parcial, afirmo que no puede haber una $\vec\forall\vec\exists$ definición de continuidad que funcione en todos los campos real-cerrados, es decir, una definición con complejidad de cuantificadores $\forall x_0\forall x_1\cdots\forall x_n\exists y_0\exists y_1\cdots \exists y_k\varphi(\vec x,\vec y)$.
La razón básica por la que no puede haber una caracterización $\vec\forall\vec\exists$ de la continuidad es que la continuidad no se conserva en límites de cadenas de modelos. Para ver esto, comencemos con el campo real $\langle\newcommand\R{\mathbb{R}}\R,+,\cdot,-,0,1,<\rangle$, y construyamos una torre elemental de modelos hiperreales sobre él, cada uno con más infinitesimales con respecto al anterior. $$\R\prec\R^*_1\prec \R^*_2\prec\cdots$$ Cada uno de estos es un campo real-cerrado con la misma teoría que el campo real, y también para la unión de la cadena elemental $\R^*_\omega$.
Ahora, comencemos con la función constante cero $f_0(x)=0$ en el campo inferior (los reales). En cada campo hiperreal $\R^*_n$, permita que $f_n$ extienda la función anterior, aún principalmente cero, excepto que agregamos un nuevo pico estrecho continuo desde $0$ hasta $1$ y luego hacia abajo a $0$ en la región infinitesimal nueva de $\R_n$ con respecto al modelo anterior.
De esta manera, cada $f_n$ agrega un pico más parpadeante hasta $1$ y luego hacia abajo en la región infinitesimal nueva de $\R_n$, y $f_n$ tiene $n$ tales picos. Todas las funciones tienen $f_n(0)=0$.
Cuando ampliamos el lenguaje para incluir estas funciones, obtenemos una cadena de modelos. $$\langle \R,+,\cdot,-,0,1,<,f_0\rangle\subseteq \langle \R^*_1,+,\cdot,-,0,1,<,f_1\rangle\subseteq\cdots$$ Permita que $\R^*_\omega$ sea la unión de los campos, con la función límite $f$.
Observe que aunque cada $f_n$ era continua en el enésimo modelo, sin embargo, el modelo límite no considera que la función límite $f$ sea continua, ya que tiene $f(0)=0$ pero hay picos hasta $1$ arbitrariamente cerca de $0$. La función del modelo límite es discontinua.
En resumen, siempre se puede agregar un pico grande más cerca de cero y seguir siendo continuo, pero el modelo límite no considerará que la función límite $f$ sea continua, ya que tiene esos saltos hasta 1 arbitrariamente cerca de 0.
Se sigue que la propiedad de la continuidad no se conserva por uniones de cadenas, y por lo tanto no puede ser caracterizada por una propiedad $\vec\forall\vec\exists$, ya que ese tipo de propiedades siempre se conservan en límites de cadenas.
Observación sobre la teoría subyacente. El argumento muestra que no hay una definición $\vec\forall\vec\exists$ que funcione en todos los campos real-cerrados. Emil menciona en los comentarios, sin embargo, que deberíamos estar usando una teoría más fuerte, a saber, la teoría $T$ que es verdadera en todas las estructuras de la forma $\langle\R,+,\cdot,-,0,1,<,f\rangle$ para cualquier elección de la función $f:\R\to\R$. Es decir, lo que naturalmente queremos es una caracterización que funcione en todas estas estructuras. El argumento que he dado no muestra del todo que no hay una definición $\vec\forall\vec\exists$ de continuidad en estas estructuras, ya que quizás tal definición funcione en todos estos modelos, pero no en todos los campos real-cerrados. Dado que mis funciones $f_n$ pueden tomarse como definibles, cada uno de los modelos en la torre que construyo puede tomarse como satisfaciendo la teoría común, y aunque el modelo límite es un campo real-cerrado, parece que hay poco motivo para suponer que satisface la teoría común. (De hecho, se puede organizar que no lo haga, codificando información prohibida en la función límite, un poco a la vez.)
