Entonces, es un hecho famoso que si $u:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ es una función armónica, entonces su transformada de Kelvin $$ (Ku)(x) := \frac{1}{|x|^{n-2}} u\left(\frac{x}{|x|^2} \right) $$ también es armónica. Aparentemente, todas las demostraciones de este hecho que he visto son alguna variación de "hacer los cálculos y todos los términos se simplifican". Además, ya hice los cálculos una vez, por lo tanto no estoy interesado en ver los cálculos hechos de alguna otra forma equivalente.
Mi punto es el siguiente: ¿por qué, realmente, es esta función armónica? No creo en el hecho de que la primera persona que descubrió esto simplemente hizo los cálculos con la potencia correcta de la norma al frente. Para $n=2$ esto se puede probar muy fácilmente por propiedades de funciones holomorfas y de hecho hay una motivación geométrica, en este caso $n=2$, en por qué envía funciones armónicas a funciones armónicas. ¿Pero qué pasa para el caso general $n$? ¿Alguien tiene al menos alguna intuición geométrica/física sobre por qué $Ku$ es armónica si $u$ lo es?
He intentado muchas caracterizaciones de funciones armónicas como la propiedad del valor medio o integrando contra funciones de prueba, y todas parecen no llevar al resultado de una manera clara. De hecho, en algún punto, siempre hay un gran cálculo (ya sea algún jacobiano tangencial o Laplaciano de composición) que encuentro básicamente equivalente a hacer los cálculos desde el principio.
Estoy buscando una demostración o al menos alguna motivación sobre por qué alguien pensaría que esta transformación es la candidata natural para enviar funciones armónicas a funciones armónicas.
