Subgrupo propio de $O_2(\mathbb{R})$ Isomorfo a $O_2(\mathbb{R})$

Question

En su respuesta muy hermosa a mi post Subgrupo de Isometrías del Plano Isomorfo a $O_2(\mathbb{R})$, Angina Seng afirmó sin prueba que existe un subgrupo propio de $O_2(\mathbb{R})$ que es isomorfo a $O_2(\mathbb{R})$. Él sugirió usar el argumento usual de "Lema de Zorn/base de Hamel", pero no puedo ver lo que realmente quiso decir, ya que $O_2(\mathbb{R})$ ni siquiera es un espacio vectorial.

¿Alguien podría ayudarme por favor? Muchas gracias por tu ayuda de antemano.

Answer 1

$\newcommand{\bZ}{\mathbf Z}\newcommand{\bR}{\mathbf R}$Nota que $O(2)\cong (\bR/\bZ)\rtimes (\bZ/2\bZ)$. Por lo tanto, basta con encontrar un subgrupo propio del toro $\bR/\bZ$ (isomorfo al toro).

Para hacer esto, simplemente fije una base $B$ de los reales que contenga $1$ (sobre los números racionales). Luego, para cada $B'\subseteq B$ que contenga $1$, con una cardinalidad de continuidad, se tiene que $\operatorname{span}(B')/\bZ\cong \bR/\bZ$: simplemente fije una biyección $B'\to B$ (fijando $1$), extiéndala a un isomorfismo lineal $\operatorname{span}(B')\to \mathbf R$ y note que induce el isomorfismo deseado.

Answer 2

Sea $K=\Bbb{R}\cap\bar {\Bbb{Q}}$, la clausura algebraica de $\Bbb{Q}$ dentro de $\Bbb{R}$, y sea $D\subset\Bbb{R}$ un conjunto de cardinalidad el continuo de elementos algebraicamente independientes. Supongamos además que $K(D)\neq \Bbb{R}$ (esto no es un problema: si $K(D)=\Bbb{R}$, solo reemplace $D$ con $D\setminus\{d\}$ para algún $d\in D$). Entonces $K(D)$ es un subcampo propio de $\Bbb{R}$ que es isomorfo a $\Bbb{R}$, y por lo tanto $\mathrm{O}_n(K(D))$ es un subgrupo propio de $\mathrm{O}_n(\Bbb{R})$ que es isomorfo a $\mathrm{O}_n(\Bbb{R})$ (para todo $n$).

Esta es más o menos la respuesta dada por Dietrich Burde (solo agregué la explicación de cómo encontrar un subcampo propio de $\Bbb{R}$ que es isomorfo a $\Bbb{R}$), pero lo que me gustaría señalar es lo siguiente: $K(D)$ es isomorfo a $\Bbb{R}$ solo como un campo abstracto, y $\mathrm{O}_n(K(D))$ es isomorfo a $\mathrm{O}_n(\Bbb{R})$ solo como un grupo abstracto. No es isomorfo como un grupo topológico.

Aquí hay una prueba de por qué esto no puede suceder cuando consideramos $\mathrm{O}_2(\Bbb{R})$ como un grupo topológico (en lugar de un grupo abstracto). Si $H$ es un subgrupo de $\mathrm{O}_n(\Bbb{R})$ que es topológicamente isomorfo a él, entonces es compacto, y por lo tanto cerrado. De hecho, también tiene la misma dimensión, por lo que incluso es abierto. Por lo tanto, es o bien $\mathrm{O}_n(\Bbb{R})$ o $\mathrm{SO}_n(\Bbb{R})$. Pero $\mathrm{SO}_n(\Bbb{R})$ no es isomorfo a $\mathrm{O}_n(\Bbb{R})$, por lo que $H$ debe ser $\mathrm{O}_n(\Bbb{R})$, por lo que no es un subgrupo propio. Por lo tanto, no existen subgrupos propios de $\mathrm{O}_n(\Bbb{R})$ que sean topológicamente isomorfos a él.