Dimensiones de las matrices simétricas y asimétricas.

Question

Deje que $ \textbf A$ denotan el espacio de la simetría $(n \times n)$ matrices sobre el campo $ \mathbb K$ y $ \textbf B$ el espacio de simetría sesgada $(n \times n)$ matrices sobre el campo $ \mathbb K$ . Luego $ \dim ( \textbf A)=n(n+1)/2$ y $ \dim ( \textbf B)=n(n-1)/2$ .

Pregunta corta: ¿hay alguna explicación corta (tal vez con la combinatoria) de por qué esta afirmación es verdadera?

EDITAR : $ \dim $ se refiere a los espacios lineales.

Answer 1

Todas las matrices cuadradas de un tamaño determinado $n$ constituyen un espacio lineal de dimensión $n^2$ ya que a cada elemento de la matriz le corresponde un miembro de la base canónica, es decir, el conjunto de matrices que tienen un único $1$ y todos los demás elementos $0$ .

Las matrices con simetría oblicua tienen elementos arbitrarios en un lado con respecto a la diagonal, y esos elementos determinan el otro triángulo de la matriz. Por lo tanto, están en número de $(n^2-n)/2=n(n-1)/2$ , ( $-n$ para eliminar la diagonal).

Para las matrices simétricas el razonamiento es el mismo, pero hay que volver a sumar los elementos de la diagonal: $(n^2-n)/2+n=(n^2+n)/2=n(n+1)/2$ .

Answer 2

Aquí están mis dos centavos:

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\begin {eqnarray} M_{n \times n}( \mathbb {R}) & \text {tiene forma} & \begin {pmatrix} *&*&*&*& \cdots \\ *&*&*&*& \\ *&*&*&*& \\ *&*&*&*& \\ \vdots &&&& \ddots \end {pmatrix} \hspace {.5cm} \text {con $n^2$ elementos} \\ \\ \\ Skew_{n \times n}( \mathbb {R}) & \text {tiene forma} & \begin {pmatrix} 0&*'&*'&*'& \cdots \\ *&0&*'&*'& \\ *&*&0&*'& \\ *&*&*&0& \\ \vdots &&&& \ddots \end {pmatrix} \end {eqnarray} Para esta formación de fondo, los (*)s y los (*')s son sólo formas operativas invertidas del mismo número, por lo que el array aquí sólo toma $\frac{(n^2 - n)}{2}$ como argumento para describirlo. Esto parece ser una pregunta de geometría de array realmente... Supongo que si lo que digo es cierto, entonces concluyo que porque $\dim(Skew_{n \times n}(\mathbb{R}) + Sym_{n \times n}(\mathbb{R})) = \dim(M_{n \times n}(\mathbb{R}))$ y $\dim(Skew_{n \times n}(\mathbb{R}))=\frac{n^2-n}{2}$ entonces tenemos que \begin {eqnarray} \frac {n^2-n}{2}+ \dim (Sym_{n \times n}( \mathbb {R}))=n^2 \end {eqnarray} o \begin {eqnarray} \dim (Sym_{n \times n}( \mathbb {R})))= \frac {n^2+n}{2}. \end {eqnarray}

Answer 3

Esto es un poco tarde, pero pensé en intervenir ya que las otras respuestas no dan realmente la intuición combinatoria pedida en la pregunta original.

Para especificar una matriz sesgada-simétrica, tenemos que elegir un número $A_{ij}$ para cada conjunto $\{i,j\}$ de índices distintos. ¿Cuántos conjuntos de este tipo hay? La combinatoria nos dice que hay $\left( \begin{array}{@{}c@{}} n \\ 2 \end{array} \right) = \frac{n(n-1)}{2}$ tales conjuntos.

Del mismo modo, para especificar una matriz simétrica, tenemos que elegir un número $A_{ij}$ para cada conjunto $\{i,j\}$ de índices (no necesariamente distintos). Podemos codificar tales conjuntos añadiendo un símbolo especial $n+1$ que indica un índice repetido. Por lo tanto, tenemos que elegir un número $A_{ij}$ para cada conjunto $\{i,j\}$ de símbolos distintos, donde ahora un símbolo es un índice ( $1 , \ldots , n$ ), o nuestro símbolo especial $n+1$ que se utiliza para un índice repetido. La combinatoria nos dice que hay $\left( \begin{array}{@{}c@{}} n+1 \\ 2 \end{array} \right) = \frac{n(n+1)}{2}$ tales conjuntos.

Answer 4

La dimensión de las matrices simétricas es $\frac{n(n+1)}2$ porque tienen una base como las matrices $\{M_{ij}\}_{n \ge i \ge j \ge 1}$ , habiendo $1$ en el $(i,j)$ y $(j,i)$ posiciones y $0$ en otro lugar. Para las matrices simétricas inclinadas, la base correspondiente es $\{M_{ij}\}_{n \ge i > j \ge 1}$ con $1$ en el $(i,j)$ posición, $-1$ en el $(j,i)$ posición, y $0$ en otro lugar.

Obsérvese que los elementos diagonales de las matrices simétricas inclinadas son $0$ por lo que su dimensión es $n$ menos que la dimensión de las matrices simétricas normales.

Answer 5

Ha habido muchas y muy buenas respuestas, así que esta va a ser otra perspectiva de contar. Abordamos primero el caso de la simetría oblicua, que produce la condición de que para cualquier matriz $A$ con entradas reales, $a_{ij} = -a_{ij}$ , lo que significa que un lado de la matriz está completamente determinado por el otro, como se muestra.

$$\begin{matrix} \begin{pmatrix} 0 &*' \\ *& 0 \\ \end{pmatrix} & * \end{matrix}$$

$$\begin{matrix} \begin{pmatrix} 0 &*' & *' \\ *& 0 & *' \\ * & * & 0 \\ \end{pmatrix} & \begin{matrix} *& \\ * & * \end{matrix} \end{matrix}$$

$$\begin{matrix} \begin{pmatrix} 0 &*' & *' &*'\\ *& 0 & *' &*'\\ * & * & 0 &*'\\ * & * &* & 0 \end{pmatrix} & \begin{matrix} * & & \\ *&* & \\ * & * &* \end{matrix} \end{matrix}$$

$$\begin{matrix} \begin{pmatrix} 0&*'&*'&*'&\cdots \\ *&0&*'&*'& \\ *&*&0&*'& \\ *&*&*&0& \\ \vdots&&&&\ddots \end{pmatrix} & \begin{matrix} *& \\ *&*& \\ *&*&*& \\ \vdots&&&&\ddots \end{matrix} \end{matrix}$$

Obsérvese que el triángulo se hace cada vez más grande y en cada etapa y se incrementa en $+1$ . Ya que tenemos $n-1$ entradas a considerar sumamos el número de entradas, es decir $$1+ 2 + \dots + (n-1).$$

Entonces, por Gauss, tenemos $$\frac{(n-1)(n-1+1)}{2} = \frac{(n-1)n}{2}$$ grado de libertad y esa es la dimensión que buscamos.

Para el caso simétrico tenemos que volver a añadir el $n$ los objetos de la diagonal se reducen a cero, por lo que $$\frac{(n-1)n}{2} + n = \frac{n^2 + n}{2}$$