¿Hay alguna diferencia entre $(x)^{\frac{1}{n}}$ y $ \sqrt[n]{x}$?
Estoy confundido con este tema. ¿Alguna idea o ejemplo?
Si $(x)^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{x}$
Considere $x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$. ¿Es lo mismo si escribo $ x=\frac{-b \pm(b^2-4ac)^{\frac{1}{2}}}{2a}$?
Sí, hay una ligera diferencia de acuerdo con una de las convenciones.
Considera, $x^{1/2}$ y $\sqrt x$, el primero se escribe en un sentido general (más apropiado para usar) pero el segundo se usa cuando $x\ge 0. Por lo tanto, según esto, $i^{1/2}$ y no $\sqrt i.
Espero que esto ayude (no completamente pero al menos en cierta medida).
En resumen, $x^{1/n}$ es una función multi-valorada pero $\sqrt[n]{x}$ es una función de un solo valor.
Como ejemplo rápido considera $\sqrt[3] 1$ y $1^{1/3}$. Lo primero da $1$ (un solo valor) pero lo segundo da "raíces cúbicas de la unidad" (tres valores).
PD: Lo publiqué como respuesta para que otros puedan verlo fácilmente al navegar por esta página.
EDITAR: ESTA DIFERENCIA NO ES UNIVERSALMENTE ACEPTADA. En realidad pensé que era explícito a partir de mi oración escrita anteriormente: "$x^{1/n}$ es una función multi-valorada", pero no parece serlo. En funciones multi-valoradas, puedes tomar cualquier rama (por ejemplo, diferente a la rama principal $(-\pi, \pi]$ que desees. Ahora, cuál es la que eliges $\implies$ la diferencia anteriormente mencionada no es universal.
No hay diferencia. De la misma manera que escribo $e^x$ cuando $x$ es lo suficientemente simple, y $\exp(x)$ en otro caso, también escribo $\sqrt{x}$ cuando $x$ es lo suficientemente simple, y $(x)^{1/2}$ en otro caso.
Por ejemplo, escribo $$ \left(\frac{1+\frac{9}{x^2}}{\sin \frac{\pi}{9}+2}\right)^{1/2} \qquad\text{y no la fea}\qquad \sqrt{\frac{1+\frac{9}{x^2}}{\sin \frac{\pi}{9}+2}} $$ Así como escribo $$ \exp\left(\frac{1+\frac{9}{x^2}}{\sin \frac{\pi}{9}+2}\right) \qquad\text{y no la ilegible}\qquad e^{\frac{1+\frac{9}{x^2}}{\sin \frac{\pi}{9}+2}} $$
No hay una convención universal sobre el significado de estas notaciones en general. Cuando $x$ es no negativo, es bastante común decir que tanto $x^{1/n}$ como $\sqrt[n]{x}$ se refieren a la única raíz $n$-ésima no negativa de $x. Algunos autores pueden utilizar otras convenciones (como la mencionada en la respuesta de kilimanjaro, en la que $\sqrt[n]{x}$ se refiere a la raíz no negativa pero $x^{1/n}$ podría referirse a cualquier raíz), pero estas no son universalmente entendidas y no deben utilizarse sin explicación. En particular, cuando $x$ no es un número real no negativo, nunca debes usar ninguna de las notaciones sin especificar a qué raíz $n$-ésima te estás refiriendo (o decir que no importa qué raíz $n$-ésima se elija). En general, en ausencia de una convención específicamente establecida, asumiría que $\sqrt[n]{x}$ y $x^{1/n}$ son sinónimos.
@Angelo Mark En tu comentario a @Elekko dices
$$x^2=9 \Rightarrow x=9^{\frac{1}{2}}= \sqrt{9}=3$$ sin embargo, $x^2=9$ no implica que $x=9^{\frac{1}{2}}$ o $x= \sqrt{9}$, aunque generalmente significan exactamente lo mismo.
La pregunta principal no es si $x^{1/n}=\sqrt[n]x$ o no, sino cuál es la función inversa de $x^n$. El requisito mínimo para que una función $f(x)$ sea invertible en un dominio dado es ser inyectiva (o uno a uno, es decir, $f(x)=f(y)$ si y solo si $x=y$) en ese dominio.
Una función $f(x) =x^n$ es inyectiva para todos los números reales, es decir, $\forall x\in\mathbb{R}$ cuando $n$ es impar, es decir, $n=2m-1,m\in \mathbb{N}$ y por lo tanto $f(x)=x^{2m-1}$ tiene una función inversa $f^{-1}(x) =x^{1\over{2m-1}},\forall x\in\mathbb{R} =\sqrt[2m-1]{x}.
Sin embargo, para un $n$ par, es decir, $n=2m,m\in \mathbb{N}$, la función $f(x) =x^n$ no es inyectiva en el dominio de todos los números reales, ya que $f(x)=f(-x)$ y por lo tanto no hay función inversa. Afortunadamente, si tomamos solo la mitad del dominio, ya sea todos los números reales positivos o todos los números reales negativos, la función $f(x) =x^{2m}$ será inyectiva en esa mitad de dominio y por lo tanto tendrá una inversa. En la mitad del dominio negativa, la inversa será $f^{-1}(x)=-x^{1\over 2m}=-\sqrt[2m]x$ y en la mitad del dominio positiva $f^{-1}(x)=x^{1\over 2m}=\sqrt[2m]x.
Volviendo a tu ejemplo, cuando escribes $x^2=9 \Rightarrow $ ya sea $x=9^{\frac{1}{2}}$ o $x= \sqrt{9}$ automáticamente asumes que $x^2$ tiene una función inversa en el dominio de todos los números reales, lo cual es incorrecto. El problema se ve fácilmente si lo escribes de la siguiente manera $x^2=(\pm x)^2=9\Rightarrow \pm x=\sqrt 9=9^{1/2}$ o $x=\pm\sqrt 9=\pm 9^{1/2}$
@kilimanjaro Tanto $\sqrt{x}$ como $x^{1/2}$ son funciones. Una función asocia una, y solo una, salida a cualquier entrada particular.
Las funciones multivaluadas no son funciones en un sentido regular y solo añaden confusiones para este tipo de discusión. Además, ninguna de las notaciones de raíces se considera comúnmente multivaluada. Puedes definir una así y otra así para una discusión abstracta muy específica donde necesitas distinguirlas, pero fuera de esa discusión abstracta (es decir, cuando hablas con "personas normales") no es así.
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