¿Por qué las funciones holomorfas inyectivas tienen derivada distinta de cero?

Question

Para algunos conjuntos abiertos $U$, $V$ en el plano complejo, sea $f:U\rightarrow V$ una función holomorfa inyectiva. Entonces $f'(z) \ne 0$ para $z \in U.

Ahora no entiendo la prueba, pero aquí está en mi texto. Mis comentarios están en cursiva. Supongamos que $f(z_0) = 0$ para algún $z_0 \in U.
$f(z) - f(z_0) = a(z - z_0)^k + G(z)$ para todo $z$ cerca de $z_0$, con $a \ne 0, k \ge 2.$ Además, $G$ se anula de orden $k+1$ en $z_0.
No entiendo qué significa esta "anulación". Tal vez significa que $G$ puede expresarse como una serie de potencias de orden $k+1$ alrededor de $z_0.

Para $w$ suficientemente pequeño, podemos escribir $f(z) - f(z_0) - w = F(z) + G(z)$, donde $F(z) = a(z - z_0)^k - w.
No estoy seguro de por qué necesitamos que $w$ sea pequeño. Esta ecuación funcionará para cualquier $w.

Dado que $|G(z)| \lt |F(z)|$ en un círculo pequeño centrado en $z_0$, y $F$ tiene al menos dos ceros dentro de ese círculo, el teorema de Rouche implica que $f(z) - f(z_0) - w$ tiene al menos dos ceros allí.

Ahora creo que $|G(z)| \lt |F(z)|$ puede seguir simplemente del hecho de que $F$ es un polinomio de grado $k$ mientras que $G$ tiene grado $k+1$. Y el comentario sobre los dos ceros puede seguir del hecho de que $F$ debe tener $k$ ceros en el plano complejo. Pero la primera parte requiere que consideremos $z$ solo en un pequeño círculo. La segunda parte requiere que nuestro círculo sea lo suficientemente grande como para capturar dos ceros. ¿Cómo sabemos que podemos satisfacer ambos?

Dado que $f'(z) \ne 0$ para todos los $z \ne z_0$ lo suficientemente cerca de $z_0$, las raíces de $f(z) - f(z_0) - w$ son distintas, por lo que $f$ no es inyectiva - una contradicción.

Creo que la derivada nunca es cero para valores de $z$ diferentes de $z_0$ porque de lo contrario tendríamos una secuencia de ceros que se aproximan a $z_0$, lo que causaría que nuestra función sea constante, lo cual es una contradicción. Pero nuevamente tenemos el mismo problema: solo podemos considerar un círculo pequeño. Las raíces de $f$ pueden estar fuera de este círculo.

Answer 1

Primer comentario: Sí. Prefiero escribir $(z-z_0)^k\cdot(a+(z-z_0)H(z))$ en tales demostraciones.

Segundo comentario: $w$ pequeño no es necesario inmediatamente, pero solo podemos usar un círculo pequeño (como garantiza la apertura de $U$) y queremos tener $(z-z_0)^k=w$ al menos una vez (y por lo tanto $k$ veces) dentro de ese círculo. Esto es lo que obliga a que $w$ sea pequeño.

Tercer comentario: Hacemos nuestro círculo aún más pequeño (y podemos revisar nuestra elección de $w$) para hacer que $|G|<| F|$. Por el orden de desaparición de $G$, tenemos $G(z)\le c\cdot |z-z_0|^{k+1}$ para algún $c$ siempre que $z\approx z_0$ (con mi notación anterior, puedes tomar cualquier $c>|H(z_0)|$). Entonces lo que necesitamos aquí para $|G(z)|<|F(z)|$ si $|z-z_0|=r$ es elegir $r\le \frac ac$. El polinomio muy simple $F$ tiene $k$ ceros en el círculo porque elegimos nuestro $w$ lo suficientemente pequeño (más pequeño que $ar^k$ si $r$ es el radio de nuestro pequeño círculo).

Cuarto comentario: Los ceros de una función holomorfa son aislados a menos que la función sea (localmente) constante. Si $f$ es constante en un pequeño disco abierto, ya está lejos de ser inyectiva.

Answer 2

Supongo que el texto que estabas usando era Complex Analysis de Stein y Shakarchi.

De hecho, la demostración es un poco problemática y debería modificarse de la siguiente manera.

Primero podemos elegir un pequeño círculo C centrado en $z_0$ tal que $|a(z-z_0)^k| > |G(z)|$ para cualquier $z$ en este círculo. Esto se puede hacer simplemente porque $G(z)$ es de orden $k+1$ o mayor.

Ahora podemos elegir un $w < \inf_{z\in C} \left(|G(z)| - |a(z-z_0)^k|\right) $. Esto garantiza que $|F(z)| = |a(z-z_0)^k-w| > |G(z)| en el círculo.

Por supuesto, también puedes requerir que $w$ sea lo suficientemente pequeño para asegurarte de que las raíces de $a(z-z_0)^k - w$ estén dentro del círculo. (De hecho, todas esas raíces están en un círculo centrado en $z_0$ de radio $ {|w/a|}^{1/k}$.)