El rango de $T^*$ es el complemento ortogonal de $\ker(T)$

Question

¿Cómo puedo demostrar que, si $V$ es un espacio vectorial de dimensión finita con producto interno y $T$ es un operador lineal en $V$, entonces el rango de $T^*$ es el complemento ortogonal del espacio nulo de $T$?

Sé lo que debo hacer (para un $v$ en el rango de $T^*$, debo mostrar que $v\perp w$ para cada $w$ en $\ker(T)$ y luego hacer lo contrario), pero no sé cómo demostrar que este producto interno es cero.

Answer 1

Para demostrar que el rango de $T^*$ es el complemento ortogonal de $\ker T$, tenemos que demostrar que $\forall v \in \operatorname{Im}T^*$, $\forall w\in \ker T$: $\left\=0$.

Tenga en cuenta que los vectores en el rango de $T^*$ son de la forma $T^*v$ para $v\in V$. Ahora, sea $w\in\ker T $. Tenemos que demostrar que $\left\=0$. Y, de hecho, $\left\=\left\=\left\=0$.

Answer 2

Sea $A=\operatorname{ran}(T^*), B=\ker(T)^\perp$.

$\boxed{A\subseteq B:}$

Para $x\in A, \ x=T^*y\ $ para algún $y\in V$. Entonces, para cualquier $z\in \ker(T),\ \langle x,z\rangle=\langle T^*y,z\rangle=\langle y,Tz\rangle=\langle y,0\rangle=0.$ Por lo tanto, $x\in B.$

$\\ \\ \boxed{B\subseteq A:}$

Como $V$ es de dimensión finita y $A,B$ son subespacios, es equivalente a $A^\perp \subseteq B^\perp= \ker(T)$. Si $x\in A^\perp$, para cualquier $y\in V$, $0=\langle x,T^*y\rangle=\langle Tx,y\rangle$ Por lo tanto, $Tx=0$ (ver ejercicio 8.1.1 (b) o simplemente tomar $y=Tx$), y así $x\in\ker(T)$.