Un problema de integral definida inversa

Question

Estoy buscando una función $f(x)$ que satisfaga esta condición: $\int_{0}^{\infty }f(x)x^ndx=\sqrt{n!}$ donde n es un entero. Supongo que $f$ contendrá $e^{-\alpha x^2}$ como uno de sus factores, donde $\alpha$ es alguna fracción.

Answer 1

Esta no es una respuesta completa ya que no proporciona una expresión explícita para $f(x)$.

Multiplica tu ecuación por $(-s)^n/n!$ y suma sobre $n$, entonces obtienes $$(\mathcal{L}f)(s)=\int_0^\infty f(x)e^{- sx}\,dx = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-s)^n}{\sqrt{n!}}.$$

Invertir la transformada de Laplace da como resultado $$f(x) = \frac{1}{2\pi i} \int_{-i\infty}^{i\infty} \sum_{n=0}^\infty \frac{(-s)^n}{\sqrt{n!}} e^{s x}\,ds =\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \sum_{n=0}^\infty \frac{(-i y)^n}{\sqrt{n!}} e^{iy x}\,dy.$$