Estás en el camino correcto.
Si consideramos $X=\left\{\frac1n:n\in\Bbb N^+\right\}$ en la topología discreta, entonces podemos dotarlo con la métrica $d:X\times X\to\Bbb R$ dada por $$d(x,y)=\begin{cases}0 & x=y\\1 & \text{en otro caso,}\end{cases}$$ la cual en efecto induce la topología discreta en $X$ (se llama la métrica discreta por esta razón). Luego $X$ ciertamente está acotado, ya que cualquier bola de radio mayor a $1$ incluye necesariamente todo el conjunto, y ciertamente está cerrado en sí mismo (como todos los espacios lo son). Sin embargo, no es compacto, ya que el recubrimiento abierto por elementos individuales no admite un subrecubrimiento finito, como has observado. Más generalmente, cualquier espacio infinito con la métrica discreta admite un subespacio propio que es cerrado y acotado, pero no compacto (eliminar cualquier punto).
Podríamos llegar a las mismas conclusiones si en cambio consideramos $X$ como un espacio bajo la métrica $$\rho(x,y)=|x-y|.$$ De hecho, $\rho$ también induce la topología discreta en $X$, y de manera similar encontramos que $X$ está acotado bajo $\rho$.
Por otro lado, supongamos que $f:X\to\Bbb Z$ es una biyección, y definimos una función $m:X\times X\to\Bbb R$ por $$m(x,y):=\bigl|f(x)-f(y)\bigr|.$$ Resulta que, independientemente de qué biyección $f$ utilicemos, se cumplen las siguientes:
- La función $m$ es una métrica en $X.$
- La métrica $m$ también induce la topología discreta en $X,$ al igual que $d$ y $\rho$.
- La función $f$ es una isometría (isomorfismo que preserva distancias) de $X$ (bajo la métrica $m$) a $\Bbb Z$ (bajo la métrica $\rho$).
- Como corolario inmediato al tercer hecho, $X$ no está acotado bajo la métrica $m,$ a pesar de que induce la misma topología que las métricas $d$ y $\rho.$
Otra alternativa es considerar $Y=\left\{\frac1n:n\in\Bbb N^+\right\}\cup\left\{-\frac1n:n\in\Bbb N^+\right\},$ dejar que $g:X\to Y$ sea cualquier biyección, y definir una relación $\prec$ en $X$ por $x\prec y\iff g(x) Fácilmente se puede verificar que $\prec$ es un orden total en $X$ que es estrictamente diferente del usual, pero aún nos permite dotar a $X$ con la topología de orden, y una vez más podemos verificar que es discreto (y aún no compacto). Además, aunque podríamos considerarlo como un espacio métrico haciendo algo similar a la métrica $m$ en el tercer ejemplo, podríamos también notar que $X$ está acotado en otro sentido: es un conjunto totalmente ordenado con tanto un mínimo como un máximo elemento. De hecho, cada subconjunto de $X$ tiene tanto una cota superior como una cota inferior (en el sentido del orden), y además, tendrá un supremo mínimo o un ínfimo máximo (pero puede que no tenga ambos un supremo mínimo y un ínfimo máximo).
La clave aquí es que la acotación no es una propiedad topológica. Es decir, para determinar la acotación, se debe especificar algo más que solo una topología, como una métrica o una estructura de orden.
