¿Cuál es $\frac{dx}{d}$?

Question

El operador $\frac{d}{dx}$ es común en cálculo para denotar una derivada. Sin embargo, esto también plantea la pregunta, ¿qué es el operador $\frac{dx}{d}$? ¿Se utiliza comúnmente este operador? Si es así, ¿cómo se llama/qué hace?

He jugado con él antes, y he encontrado una forma natural de definirlo que parece ser que $$\frac{dx}{d}\frac{1}{f(x)} := \frac{dx}{df} = \frac{1}{(\frac{df}{dx})}$$

También encontré en mis propias experimentaciones que esto podría definir algo extraño al aplicar el operador dos veces:

$$\frac{dx}{d}(\frac{dx}{df}) = \frac{dx}{d\frac{df}{dx}} = \frac{1}{\frac{d\frac{df}{dx}}{dx}} = \frac{1}{\frac{d^2f}{dx^2}}$$

Lo cual parecería implicar una definición agradable de notación:

$$\frac{dx}{d}(\frac{dx}{df}) := \frac{dx^2}{d^2f}$$

Todo esto es puramente mi propia especulación/invento, por supuesto. Nunca he oído hablar de ninguna operación como esta, y no puedo encontrarla en internet, porque no tengo un nombre para ella y no puedo encontrar la notación en ningún lugar. ¿Está ya bien definida esta operación?

Answer 1

Un problema es que ver $\text{“ } \dfrac {dx} d\text{ ''}$ como un "operador" es que potencialmente debería ser capaz de operar algo, por lo tanto: $$\text{“ } \frac {dx} d f \text{ ''}. \tag 1$$

Tiene sentido con $\dfrac d{dx}$ porque $\dfrac d {dx} f$ significa $\dfrac{df}{dx}$. Pero no se puede hacer nada similar con la expresión en $(1)$.

Answer 2

En primer lugar, su operador necesita actuar en algún espacio de funciones. Las restricciones obvias podrían ser funciones no nulas con derivada no nula. Esto descarta inmediatamente las funciones lineales y específicamente $f\equiv 0$, por lo que su operador no actuará en el espacio vectorial usual de funciones, al menos no sin modificaciones adecuadas (quizás con algo que involucre extensión por continuidad, como sugirió celtschk en los comentarios).

Por ejemplo, si estamos hablando de funciones $C^1$, las "funciones no nulas con derivada no nula" son funciones estrictamente monótonas positivas/negativas.

Sin embargo, esto aún no será lineal (al menos no con la adición estándar). Para ver esto, cambiaré la notación a $f' = \frac{df}{dx}$ para evitar conglomerados innecesarios.

Entonces, a la definición:

$$\frac{dx}d f = \frac{1}{(\frac 1f)'}= \frac{-f^2}{f'}$$

Esto es homogéneo:

$$\frac {dx}d (af) = \frac {-a^2f^2}{af'} = a\frac{dx}df,$p>

pero no aditivo:

$$\frac{dx}df + \frac{dx}dg = \frac{-f^2}{f'} + \frac{-g^2}{g'} = -\frac{f^2g'+f'g^2}{f'g'}=-\frac{(f^2g'+f'g^2)(\frac 1{f'}+\frac 1{g'})}{f'+g'} = -\frac{f^2 + g^2 + \frac{f^2}{f'}g' + f'\frac{g^2}{g'}}{f'+g'} = \frac{dx}d(f+g) - \frac{\frac{f^2}{f'}g' + f'\frac{g^2}{g'}-2fg }{f'+g'}.$$

Notar que $\frac{f^2}{f'}g' + f'\frac{g^2}{g'}\neq 2fg$ en general, por ejemplo, tome $f(x) = e^x$ y $g(x) = e^{2x}$.

Uno podría esperar entonces que $\frac{dx}{d(f+g)} = \frac{dx}{df} + \frac{dx}{dg}$ pero es aún más fácil ver que falla.

Pero, incluso hay un problema más elemental con la adición. La suma de funciones o sus derivadas podría anularse en algunos puntos. Para remediar esto, tendríamos que restringirnos aún más, por ejemplo solo a funciones positivas. Pero para que $\frac{dx}d$ esté bien definido, su derivada debería ser negativa. Por lo tanto, podríamos observar funciones positivas estrictamente decrecientes y dejar que $\frac{dx}d$ actúe sobre ellas. Será homogéneo (positivamente), pero aún no aditivo.