¿Es un gráfico de la función conectado?

Question

Hace tiempo que estudié y he olvidado mucho de la topología. Aquí está mi problema: ¿Es un gráfico de la siguiente función conectado?

$$f(x) = \begin{cases} x, & x\in \mathbb{Q} \\[2ex] -x, & x\in \mathbb{R}-\mathbb{Q} \end{cases}$$

Answer 1

Sean $U$ y $V$ los conjuntos abiertos disjuntos en ${\mathbb R}^2$

$$U = \{(x, y): y < x - 2\} \qquad V = \{(x, y): y > x - 2\}$$

Entonces $U \cup V$ contiene el gráfico $G$ de $f$, y $G$ contiene los puntos $(1, 1) \in V$ y $(\pi, -\pi)\in U$. Por lo tanto, $G$ no está conectado.

Para ver que $(x, f(x))$ siempre es un elemento de $U\cup V$, observe que esto es falso solo si $f(x) = x - 2$, lo que implica que $f(x)\not = x$, por lo tanto $x\not \in {\mathbb Q}$, pero luego $f(x) = -x = x-2$, lo que implica $x = 1 \in {\mathbb Q}$, una contradicción.

Editar: Se podría demostrar fácilmente que $G$ es de hecho totalmente desconectado al demostrar que cualquier par de puntos en $G$ pueden ser separados de esta manera por una línea recta que no intersecta $G$: las líneas con la ecuación $y = x - a$ con $a\in {\mathbb Q}^*$ o $y = -x + b$ con $b\in {\mathbb R}\setminus {\mathbb Q}$ pueden ser utilizadas para separar cualquier par de puntos en $G$.