Explicación intuitiva para una respuesta constante en una pregunta de teorema de Bayes

Question

Pregunta (anteriormente formulada aquí)

Sabes que hay 3 niños y un número desconocido de niñas en una guardería de un hospital. Luego una mujer da a luz a un bebé, pero no conoces su género, y es colocado en la guardería. Luego una enfermera entra y recoge a un bebé y resulta ser un niño. Dado que la enfermera recoge a un niño, ¿cuál es la probabilidad de que la mujer haya dado a luz a un niño?

Suponga que -en el universo de esta pregunta- la probabilidad incondicional de que un recién nacido sea niño o niña es exactamente la mitad.

Solución breve

Sea el número de niñas $k$. El Evento A es que el recién nacido es un niño, el Evento B es que la enfermera recoge a un niño. Entonces, nos preguntan por $P(A|B)$.

$$P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)} = \frac{\frac 4{k+4}\frac 12}{\frac 4{k+4}\frac 12 + \frac 3{k+4}\frac 12} = \frac 47$$

Mi pregunta

¿Por qué la probabilidad es constante? Habría esperado que la probabilidad cambiara con respecto al número de niñas. Más específicamente, habría esperado que la probabilidad aumentara a medida que el valor de $k$ aumenta, y disminuya si $k$ fuera menor. ¿Por qué? Porque ya se nos ha dado la afirmación de que hemos seleccionado a un niño. Si hay un número infinito de niñas, entonces el recién nacido casi seguramente tendría que ser un niño para ayudar a respaldar esa afirmación observada. Debido a que inicialmente solo hay tres niños, cuanto más ayuda puedan obtener en respaldar la afirmación, mejor.

Por supuesto, este no es un argumento muy riguroso, pero el punto aquí es que en muchas preguntas de este tipo hay una expectativa natural de que la probabilidad varíe con la variable. Y de hecho lo hace en muchas, por ejemplo en el problema generalizado de monty hall.

Sé que técnicamente la $k$ no importa porque se cancela en el denominador, pero intuitivamente esa no es una explicación muy útil. ¿Alguien puede dar una explicación intuitiva de por qué la respuesta de probabilidad en esta pregunta es constante?

Answer 1

Me imagino que el argumento puede ser algo así...

Vamos a pensar que tienes dos salas de hospital idénticas, A y B, ambas con guarderías, en cada guardería hay $3$ niños y $k$ niñas. En ese momento, una mujer en la sala A da a luz a un niño y otra mujer en la sala B da a luz a una niña. Ahora hay $4$ niños en la guardería de la sala A, pero aún $3$ niños en la guardería de la sala B.

Imagina que ahora (sin tener las salas claramente etiquetadas, como suele suceder en los hospitales) entras de forma aleatoria (con probabilidades de $50\%$ cada una) en una de las salas y ves a una enfermera sosteniendo a un niño de la guardería. ¿Cuál es la probabilidad de que hayas entrado a la sala A?

Este es el mismo problema que el original, pero tiene la solución obvia de $4/7$. Es decir, cada niño (de entre todos los $8+2k$ niños) se elige con igual probabilidad, por lo que sabiendo que fue un niño, podría haber sido uno de los $7$ niños igualmente probables. Sin embargo, $4$ de ellos son de la sala A, por lo que las probabilidades de que hayas entrado en la sala A son $4/7$.

Answer 2

¡Vaya, este fue un desafío! Por cuestión de brevedad, me referiré a los otros tres niños como "niño 1", "niño 2" y "niño 3", y al niño en cuestión simplemente como "el niño".

Hay siete resultados posibles diferentes:

Si el niño es una niña: (1) Se elige al niño 1, (2) Se elige al niño 2, (3) Se elige al niño 3.

Si el niño es un niño: (4) Se elige al niño 1, (5) Se elige al niño 2, (6) Se elige al niño 3, (7) se elige al niño.

Básicamente, cada uno de estos siete eventos tiene la misma probabilidad, lo cual es bastante contraintuitivo. Esto se debe a que 4/7 del tiempo la enfermera elegirá la segunda categoría, ya que hay cuatro niños en lugar de tres. De hecho, de aquí proviene la probabilidad de que el niño sea un niño. Tenga en cuenta que esto no tiene nada que ver con la probabilidad del .5 de que cualquier niño sea un niño, ya que la enfermera es más probable que elija del grupo de niños si hay más niños.

Puede ser un poco más fácil de considerar si se piensa en el caso con 1 niño conocido. Es dos veces más probable que elija un niño si el niño es un niño, lo que significa que 2/3 veces elegirá del segundo grupo, lo que es sinónimo de decir que el niño es un niño.

También se puede pensar en el niño como si tuviera la mitad del "peso" de los otros niños, si eso ayuda.

Si quieres algunos números para convencerte: si se elige a cualquiera de los otros tres niños, lo cual ocurre 6/7 del tiempo, esto no tiene ninguna influencia en el género del niño. Sin embargo, 1/7 del tiempo, cuando se elige al niño, este está garantizado de ser un niño.

Luego, el cálculo es $(\frac12) \frac67 + (1)\frac17 = \frac47 $

Si te das cuenta de esta forma extremadamente contraintuitiva de verlo, este problema es casi inmediato y no requiere de cálculos. Me disculpo si esta es una explicación complicada.

Answer 3

La respuesta de dos palabras es tan intuitiva que apenas espero mejorarla. Por lo tanto, generalizaré para encontrar la respuesta dada en uno de los comentarios.

Hay que tener en cuenta que la frase "dado que la enfermera recoge a un niño" indica que nos estamos restringiendo a los casos en que eso sucede. El teorema de Bayes nos dice que la probabilidad de que estemos observando un caso del Evento $A$, dado que estamos observando el Evento $B$, es simplemente la proporción relativa de todos los casos del Evento $B$ en los que ocurre el Evento $A$.

Es decir, sabiendo que $$ P(B\mid A) P(A) = P(A \cap B)$$ y $$ P(B\mid A^\complement) P(A^\complement) = P(A^\complement \cap B),$$

El teorema de Bayes dice que

$$ P(A\mid B) = \frac{P(B\mid A) P(A)} {P(B\mid A) P(A) + P(B\mid A^\complement) P(A^\complement)}. $$

Entonces supongamos que la probabilidad anterior de que la mujer haya dado a luz a un niño es $p,$ que podría ser o no ser $\frac12.$ Es decir, $P(A) = p$ y $P(A^\complement) = 1 - p.$

Hay alguna probabilidad, $P(C)$, de que la enfermera levante al nuevo bebé. Cualquier otro bebé en particular en la sala tiene la misma probabilidad de ser recogido. Como hay cuatro niños en la sala en el evento $A$, se deduce que $P(B\mid A) = 4 P(C).$ En el evento $A^\complement,$ solo hay tres niños, por lo que $P(B\mid A^\complement) = 3 P(C).$

Entonces ahora tenemos

$$ P(A\mid B) = \frac{4 P(C) P(A)}{4 P(C) P(A) + 3 P(C) P(A^\complement)}. $$

Cancela el factor común $P(C)$: $$ P(A\mid B) = \frac{4 P(A)}{4 P(A) + 3 P(A^\complement)}. $$

Sustituye $P(A) = p$ y $P(A^\complement) = 1 - p$: $$ P(A\mid B) = \frac{4 p}{4 p + 3 (1 - p)} = \frac{4 p}{3 + p}. $$

Esto da como resultado $\frac47$ cuando $p = \frac12,$ pero tiende a cero a medida que $p$ se acerca a cero y tiende a $1$ a medida que $p$ se acerca a $1.$