Seguimiento de una pregunta previa mía (personajes en álgebra estelar)

Question

Es un hecho que el espacio de caracteres de un álgebra $C^\ast$ conmutativa no es vacío. Considere la siguiente demostración, también incluida aquí:

Prueba:

Mi pregunta es: ¿Podría alguien explicarme por favor por qué la última parte que involucra la unitarización y la restricción del carácter a $A$ es necesaria?

Concretamente, mi propia demostración sería la siguiente y no sé por qué podría no ser correcta:

Recuerde que en un álgebra de Banach conmutativa no unitaria $A$ tenemos $\sigma (a) = \{ \tau (a) \mid \tau \in \Omega (A) \} \cup \{0\}$. Dado que existe $\tau$ tal que $|\tau (a) | = \|a\| > 0$ sigue de inmediato que $\tau \in \Omega (A)$ es un carácter no nulo que prueba la afirmación.

Answer 1

La unitariedad es necesaria para mostrar la existencia de caracteres: necesitas la existencia de ideales maximales, los cuales solo puedes asegurar que existen en álgebras abelianas unitarias.

No sé dónde está el problema; tengo que admitir que no sé nada sobre las unitariedades en álgebras de Banach. Considera este ejemplo: sea $A=\ell^1(\mathbb N)$, con la adición y multiplicación puntual. No es difícil ver que los caracteres son precisamente los mapeos $$a\longmapsto a(n)$$ para un $n$ fijo. Pero si por ejemplo consideras la sucesión $(2^{-n})$, entonces $|\tau(a)|\leq1/2$ para todos los caracteres, mientras que $\|a\|_1=1$. Así que parece que no hay ningún carácter con $|\tau(a)|=\|a\|$.