Dado un sistema de ecuaciones polinómicas multivariadas, ¿hay alguna manera de determinar si tiene una solución en un campo dado (por ejemplo, el conjunto de todos los números reales)? No me importa cuál sea la solución, solo quiero saber si existe o no.
Entiendo que un enfoque sería determinar una Base de Groebner (o la falta de la misma), pero parece ser problemático sobre los reales.
Los sistemas contienen polinomios de dos formas:
1) $(a-b)^2+(c-d)^2-1=0$
2) $z^2[(a-b)^2+(c-d)^2]-1=0
La respuesta sobre los números reales es un rotundo sí: no solo puedes decidir si el sistema tiene soluciones, sino que incluso puedes producirlas (sobre otros campos, no tanto, por ejemplo $\mathbb{Q}$).
El problema de decisión fue resuelto por Tarski (y luego por Seidenberg). Aunque la demostración dio una forma teórica de encontrar soluciones, no era práctica.
Si deseas producir soluciones, y si tu sistema es de dimensión cero (sobre los complejos), entonces tu problema es simplemente determinar si una de las soluciones es real. Primero encuentra una base de Grobner para tu ideal. A través del uso de un elemento separador en el anillo cociente $\mathbb{C}[X]/I$, puedes reducir la pregunta a determinar si un cierto polinomio univariante tiene raíces reales, lo cual se puede hacer con una secuencia de Sturm.
El caso de dimensión positiva puede abordarse con una variación de este tema, produciendo un sistema de dimensión cero contenido en tu variedad (tomando el locus crítico de funciones adecuadas). Es más fácil decirlo que hacerlo, pero el software que resuelve este tipo de problemas ha estado disponible durante casi 10 años. Estos algoritmos pueden ser modificados para manejar desigualdades además de ecuaciones.
Otro enfoque para estos problemas es la Descomposición Algebraica Cilíndrica, que es mucho más lenta, tiene una salida más grande, pero tiene la ventaja adicional de manejar desigualdades sin necesidad de un algoritmo diferente.
La mejor referencia para esto es el libro de Springer Algoritmos en Geometría Algebraica Real de Saugata Basu, Richard Pollack y Marie-Françoise Roy. Se puede descargar gratuitamente desde ese enlace. Hoy en día, incluso sistemas de Álgebra Computacional generalistas como Maple o Mathematica tienen implementaciones decentes de estos algoritmos que pueden resolver fácilmente tu ejemplo y otros de la misma calidad.
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