¿La preimagen abierta implica abierto?

Question

Sea $f:X \to Y$ continua, es decir que cada subconjunto abierto de $Y$ tiene una preimagen abierta bajo $f$. Me pregunto si la afirmación inversa es verdadera:

Sea $U$ un subconjunto de $Y$. Si $f^{-1}(U)\subset X$ es abierto, ¿se concluye que $U$ es abierto?

Answer 1

No, no es cierto. Consideremos la función $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ definida por $f(x)=1$. Claramente $f$ es continua. Entonces, $f^{-1}[\{1\}]=\mathbb{R}$, es decir, la imagen inversa de $\{1\}$ es un conjunto abierto, pero $\{1\}$ no es abierto (estamos usando la topología euclidiana).

Answer 2

No, consider $U = [0,1)$ and $f(x) = x^2$ de los números reales a sí mismos en las topologías estándar.