Álgebra lineal y campos arbitrarios

Question

El curso de álgebra lineal que tomé fue bastante consistente en asumir que el campo escalar es o bien los reales o los números complejos. La teoría sobre los mapas lineales, las bases, sus matrices, los valores y vectores propios, la traza y el determinante se generalizan claramente a un campo general sin ningún cambio. Del mismo modo, la forma canónica de Jordan sólo parece requerir la cerrazón algebraica de un campo.

La definición de un producto interno parece requerir explícitamente los números reales o los complejos, pero incluso en ese caso uno debería ser capaz de sustituirlo por un emparejamiento bilineal $V\times V\to \mathbb{F}$ , donde $\mathbb{F}$ es nuestro campo. Sin embargo, ¿por qué queremos entonces una simetría conjugada en el caso complejo? ¿Necesitamos algo similar para los campos que tienen un automorfismo "similar"? ¿Existe una manera precisa de formalizar esto?

Mis preguntas son esencialmente las siguientes: ¿Cómo podemos generalizar los teoremas espectrales a campos generales? ¿Cómo serían los resultados y qué tenemos que asumir? ¿Cuál es la forma correcta de generalizar los espacios de productos internos y qué podemos trasladar sin cambios desde el entorno de una clase de álgebra lineal de grado?

Answer 1

Un producto interno es una forma bilineal simétrica positiva definida. En campos generales, podrás satisfacer felizmente la bilinealidad simétrica, pero tendrás problemas con la definida positiva: sobre un campo de característica distinta de cero, ni siquiera serás capaz de dar sentido a $\langle x, x \rangle \ge 0$ y mucho menos encontrar una forma para la que se mantenga, ya que no hay un ordenamiento compatible con el campo. Obsérvese que tampoco hay un ordenamiento en los números complejos que sea compatible con el campo, pero existe el subcampo $\mathbb R$ que pueden ser ordenados, por lo que la simetría conjugada nos rescata asegurando $\langle x, x \rangle$ cae allí dentro, pero los campos de la característica $p$ debe contener un subcampo $\mathbb F_p$ que ya no se puede pedir.

En campos de característica cero, como los racionales, se puede encontrar un producto interno razonable, pero no es tan útil como cabría esperar. Por ejemplo, no se puede obtener una base ortonormal a partir de una base dada, porque no se pueden hacer raíces cuadradas: se puede encontrar la norma al cuadrado, pero no la propia norma. Podrías llegar hasta el álgebra, o sólo hasta las raíces cuadradas, pero a estas alturas creo que ganas muy poca generalidad sobre el uso de $\mathbb R$ en primer lugar, y si se da cuenta de que quiere la completitud en algún momento, se verá obligado a los reales de todos modos.

Creo que yo también he encontrado frustrante la asimetría entre productos internos complejos y reales. Es posible que exista una teoría unificadora que desconozco, pero no creo que sea descabellado considerarlos como entidades básicamente separadas (aunque muy similares), aunque entidades que se incrustan una en la otra de forma ordenada. Esencialmente, $\mathbb R$ es especial: después de todo, es el único campo arquimediano completo totalmente ordenado, por lo que no es tan sorprendente que le prestemos una atención específica.