Que A, B y C sean tres conjuntos. Si A ∈ B y B ⊂ C, ¿es cierto que A ⊂ C?. Si no es así, da un ejemplo.

Question

Sean $A, B$ y $C$ tres conjuntos. Si $A \subseteq B$ y $B \subseteq C$, ¿es verdad que $A \subseteq C$? Si no, da un ejemplo.

Esta pregunta es de mi libro de texto. Y la respuesta es:

No. Sean $A = \{1\}, B = \{\{1\}, 2\}$ y $C = \{\{1\}, 2, 3\}.$ Aquí $A \subseteq B$ ya que $A = {1}$ y $B \subseteq C.$ Pero $A \nsubseteq C$ ya que $1 \in A$ y $1 \notin C.$ Nota que un elemento de un conjunto nunca puede ser un subconjunto de sí mismo.

Tengo problemas para entender "Pero $A \nsubseteq C$ ya que $1 \in A$ y $1 \notin C.$ ¿Cómo podría $1 \notin C$? Claramente $C$ contiene a $B$ y $A$ es un elemento de $B$ y $A$ tiene $1$ por lo tanto $C$ debe tener $1$. Estaría muy agradecido si respondes a esto.

Answer 1

Esto se debe a que hay una distinción entre $1$ y $\{1\}$. El primero es el número uno. El último es un conjunto que contiene al número uno. Si algún conjunto $C$ contiene otro conjunto, llamémoslo conjunto $E$, no miramos los miembros de $E$ cuando consideramos los miembros de $C$. Diríamos que el conjunto $E$ es un miembro de $C$, pero eso no significa necesariamente que cualquier cosa contenida por $E$ también esté en $C$.

Answer 2

Observa la diferencia de $\{1\}\in C$ (que es verdadero) y $\{1\}\subset C$ (que no es verdadero). El conjunto $A=\{1\}$ es un elemento de $C$, no un subconjunto. Por ejemplo, $\{2\},\{3\}$ y $\{\{1\}\}$ son subconjuntos de $C$, pero $2,3$ y $\{1\}$ no son subconjuntos de $C$, sino sus elementos.