¿Cómo está relacionado con la medida exterior?

Question

Para cualquier conjunto $A \subseteq \Bbb{R}$, define $\mu(A) = \sup \{m^*(F) \mid F \subseteq A \text{ es cerrado } \} \in [0, \infty]$, donde $m^*(F) = \inf \{\sum_{k=1}^\infty \ell(I_k) \mid \{I_k\}_{k=1}^\infty \text{ es una cubierta abierta de } A \}$ es la medida exterior de $F$. ¿Cómo está relacionada esta función de conjunto con $m^*$.

Es evidente que $\mu (A) \le m^*(A)$, ya que si $F \subseteq A$, tenemos $m^*(F) \le m^*(A)$ por monotonicidad. La dificultad radica en determinar si se cumple la desigualdad inversa. Acabo de demostrar que $m^*(A)$ es igual a $\inf \{m^*(O) \mid O \supseteq A \text{ es abierto} \}$, así que trabajaré con esta perspectiva sobre la medida exterior.

Observa que $m^*(F) \le m^*(A) \le m^*(O)$ para cada $F$ y $O$ del tipo del que hemos estado hablando, y si puedo demostrar que existe un $F$ y un $O$ tales que $m^*(F) = m^*(O)$, entonces esto, por lo que puedo ver, demostraría que $m^*(A) \le \mu(A)$; por lo tanto, la existencia de tal par es suficiente para probar que $m^*(A) = \mu(A)$. Sospecho que esto no siempre es así, pero intentar pensar en un contraejemplo ha resultado difícil. Pero se me ha ocurrido una idea loca: ¿significa $m^*(A) = \mu(A)$ que existe tal par de $F$ y $O; es decir, es la existencia de dicho par necesaria para la igualdad? Si es así, creo que esto reduciría el espacio de contraejemplos, ya que creo que esto implicaría$m^*(A) = \min \{m^*(O) \mid O \supseteq A \text{ es abierto} \}$; por lo tanto, para encontrar un contraejemplo a la afirmación, solo tenemos que encontrar un$A$para el cual$\min \{m^*(O) \mid O \supseteq A \text{ es abierto} \}$ no exista.

Answer 1

Tienes razón en que $m^{*}(A)\neq \mu(A)$ para todo $A,$ e ciertamente, encontrar un contraejemplo es complicado (el que conozco es $\mathcal{N},$ un conjunto de representantes en $[0,1]$ de las clases de equivalencia de $\mathbb{R}$ bajo la relación de equivalencia $x\sim y$ si y solo si $x-y\in\mathbb{Q}$). Pero hay conjuntos $A$ para los cuales $m^{*}(A)=\mu(A),$ pero aún así no existe un par de $F$ y $O$: simplemente considera $(0,1].$ Para cualquier $F\subseteq(0,1],$ $\min\{x:x\in F\}>0,$ así que $m^{*}(F)<1,$ y para cualquier $O\supset (0,1],$ $\sup\{x:x\in O\}>1,$ así que $m^{*}(O)>1.

Answer 2

No, esto no es necesario.

Si tuvieras $m^*(F)=m^*(O)$, entonces necesariamente tendrías $m^*(F)=m^*(O)=m^*(A)$. Esto es trivialmente falso si $m^*(A)=0$ y $A$ no está vacío, por ejemplo (por ej. $A=\{0\}$) -- cualquier conjunto abierto no vacío tiene medida distinta de cero.

Para encontrar un contraejemplo, necesitas alguna forma de axioma de elección (sin axioma de elección, los contraejemplos pueden no existir). De hecho, puedes encontrar $A$ tal que $\mu(A)$ (usualmente llamada la medida interna de $A y denotada por$m_*(A)$) sea cero, mientras que$m^*(A)$sea completo (es decir, cualquier conjunto abierto que contenga a$A$tiene medida complementaria cero), por ejemplo, si eliges$A$ para ser un conjunto de Bernstein.