¿Existen cinco números complejos que satisfacen las siguientes igualdades?

Question

¿Alguien puede ayudar con la siguiente pregunta?

¿Existen cinco números complejos $z_{1}$, $z_{2}$, $z_{3}$, $z_{4}$ y $z_{5}$ con $\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|+\left|z_{3}\right|+\left|z_{4}\right|+\left|z_{5}\right|=1$ tal que el menor entre $\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|-\left|z_{1}+z_{2}\right|$, $\left|z_{1}\right|+\left|z_{3}\right|-\left|z_{1}+z_{3}\right|$, $\left|z_{1}\right|+\left|z_{4}\right|-\left|z_{1}+z_{4}\right|$, $\left|z_{1}\right|+\left|z_{5}\right|-\left|z_{1}+z_{5}\right$, $\left|z_{2}\right|+\left|z_{3}\right|-\left|z_{2}+z_{3}\right|$, $\left|z_{2}\right|+\left|z_{4}\right|-\left|z_{2}+z_{4}\right|$, $\left|z_{2}\right|+\left|z_{5}\right|-\left|z_{2}+z_{5}\right$, $\left|z_{3}\right|+\left|z_{4}\right|-\left|z_{3}+z_{4}\right$, $\left|z_{3}\right|+\left|z_{5}\right|-\left|z_{3}+z_{5}\right$ y $\left|z_{4}\right|+\left|z_{5}\right|-\left|z_{4}+z_{5}\right|$ sea mayor a $8/25$?

¡Gracias!

Answer 1

Obviamente no; la suma de dos de los valores absolutos de distintos $z_i$ siempre es ${}\leq1$, y restarle cualquier cosa positiva no hará que el resultado sea ${}>1$. En otras palabras, ni siquiera obtendrás que uno de esos valores de los que estás tomando el mínimo sea ${}>1$.

Answer 2

Suponga que tiene soluciones y expresa $z_i$ como $r_i e^{\theta_i}$.

(Utilizo $s_i = \sin( \theta_i )$ y $c_i = \sin( \theta_i )$ para hacer las notaciones más cortas)

Entonces$$\begin{align*} |z_i| + |z_j| - |z_i + z_j| & = |r_i e^{\theta_i}| + |r_j e^{\theta_j}| - |r_i e^{\theta_i} + r_j e^{\theta_j}| \\ & = r_i + r_j - |r_i(c_i +is_i) + r_j(c_j +is_j) | \\ & = r_i + r_j - |(r_ic_i+r_jc_j) + i(r_is_i+r_js_j)| \\ & = r_i + r_j - \sqrt{(r_ic_i+r_jc_j)^2 + (r_is_i+r_js_j)^2} \\ & = r_i + r_j - \sqrt{ ( r_i^2c_i^2 + 2r_ir_jc_ic_j + r_j^2c_j^2 ) + ( r_i^2s_i^2 + 2r_ir_js_is_j + r_j^2s_j^2 ) } \\ & = r_i + r_j - \sqrt{ r_i^2( c_i^2 + s_i ^2 ) + r_j^2(c_j^2 + s_j^2) + 2r_ir_j(c_ic_j+s_is_j) } \\ |z_i| + |z_j| - |z_i + z_j| & = r_i + r_j - \sqrt{r_i^2 + r_j^2+2r_ir_j\cos(\theta_i-\theta_j) } \end{align*} $$

Luego

$$\begin{align*} |z_i| + |z_j| - |z_i + z_j| > \frac{8}{25} & \Leftrightarrow r_i + r_j - \sqrt{r_i^2 + r_j^2+2r_ir_j\cos(\theta_i-\theta_j) } > \frac{8}{25} \\ & \Leftrightarrow r_i + r_j - \frac{8}{25} > \sqrt{r_i^2 + r_j^2+2r_ir_j\cos(\theta_i-\theta_j) } \\ & \Leftrightarrow ( r_i + r_j - \frac{8}{25} ) ^ 2 > r_i^2 + r_j^2+2r_ir_j\cos(\theta_i-\theta_j) \\ & \Leftrightarrow r_i^2 + r_j^2 + (\frac{8}{25})^2 + 2r_ir_j - 2\frac{8}{25} r_i - 2\frac{8}{25} r_j > r_i^2 + r_j^2+2r_ir_j\cos(\theta_i-\theta_j) \\ & \Leftrightarrow (\frac{8}{25})^2 + 2r_ir_j - 2\frac{8}{25} r_i - 2\frac{8}{25} r_j > 2r_ir_j\cos(\theta_i-\theta_j) \\ & \Leftrightarrow (\frac{8}{25})^2 + 2r_ir_j( 1 - \cos(\theta_i-\theta_j) ) - 2\frac{8}{25} r_i - 2\frac{8}{25} r_j > 0 \\ \end{align*} $$

Tal vez actualice más tarde pero eso es todo lo que tengo por ahora :/

Pero intentaría expresar $r_i$ como una función de $r_{\sigma(i)}$ con $\sigma$ una permutación. Y al hacer eso, probablemente obtendría una forma fea de calcular cualquier $r_j$ a partir de todos los $\theta_k$ donde $j,k \in \{\sigma(i)^n, n\in \mathbb{N}\}$.

Answer 3

Creo que la respuesta es no.

Supongamos que podemos encontrar tales $z_1,\dotsc,z_5$. Entonces todos ellos son distintos de cero. Sea $\theta_{ij}$ el ángulo entre $z_i$ y $z_j.

Para todo $i,j$, tenemos \begin{align*} \frac{8}{25} & \leq |z_i| + |z_j| - |z_i + z_j| \\ & = \frac{(|z_i| + |z_j|)^2 - |z_i + z_j|^2}{|z_i| + |z_j| + |z_i + z_j|} \\ & \leq \frac{2|z_i||z_j|(1-\cos{\theta_{ij}})}{2|z_j|} \\ & = |z_i| (1-\cos{\theta_{ij}}).\end{align*>

Reordena $z_1,\dotsc,z_5$ para que $|z_1|\leq \dotsb \leq |z_5|$. Ahora, como $|z_1| \leq \frac{1}{5}$, lo anterior da $\theta_{1j} \geq \cos^{-1}\left(-\frac{3}{5}\right)=2.21$ radianes. Esto significa que si unimos cada $z_i$ al origen por separado, hay una región de $4.42$ radianes alrededor de $z_1$ sin ningún otro $z_i$. Por lo tanto, $z_2,\dotsc,z_5$ deben estar dentro de una región de a lo sumo $2\pi - 4.42 = 1.87$ radianes. (Aproximé al alza o a la baja con frecuencia para que los límites realmente se vuelvan más imprecisos en cada etapa.)

En particular, hay algún $i \neq 1$ tal que $\theta_{ij} \leq \frac{1.87}{3} = 0.63$ radianes, por lo que $|z_i| \geq 1.67$. Contradicción.