La continuidad de la $f(x,y)=4x^3y^{11}(x^4+y^8)^{-2}$ $(0,0)$

Question

Así, la función es $$\frac{4x^3y^{11}}{(x^4+y^{8})^2}$$ and we want to know if it's continuous at $(0,0)$. I've tried as many trajectories as I could think of, and they all give $0$ as the limit. So I tried proving, by definition that its limit is in fact $0$, pero fue en vano.

Answer 1

El límite en el $(0,0)$ existe y es $0$.

Para probar esto, tenga en cuenta que, para cada $\theta$ $(0,1)$ y no negativo $(u,v)$, $$u^\theta v^{1-\theta}\leqslant\max\{u,v\}^\theta\cdot\max\{u,v\}^{1-\theta}=\max\{u,v\}\leqslant u+v.$$ Por lo tanto, para cada $(x,y)$, $$x^4+y^8\geqslant |x|^{4\theta}|y|^{8(1-\theta)},$$ lo que implica que $$ \left|\frac{x^3y^{11}}{(x^4+y^8)^2}\right|\leqslant |x|^{3-8\theta}|y|^{16\theta-5}. $$ El RHS va a $0$ al $(x,y)$ $(0,0)$ tan pronto como los dos exponentes $3-8\theta$ $16\theta-5$ son no negativos, es decir, por cada $\theta$ tal que $\theta\geqslant\frac5{16}$$\theta\leqslant\frac38$. Desde $\frac5{16}\leqslant\frac38$, este intervalo no vacío, lo que demuestra el resultado.

Por ejemplo, $\theta=\frac13$ rendimientos $$ \left|\frac{x^3y^{11}}{(x^4+y^8)^2}\right|\leqslant \sqrt[3]{|x|\cdot|y|}. $$ Más en general, para todos los positivos $(a,b,c,d,e)$, $$ \frac{x^ay^b}{(x^c+y^d)^e}, $$ va a $0$ $(0,0)$ tan pronto como $$ \frac{a}c+\frac{b}d\geqslant e. $$ Tenga en cuenta que $$ \frac{3}4+\frac{11}8=\frac{17}8\geqslant2. $$

Answer 2

Para todos los $(x,y)$ hemos $$(x^4+y^8)^2\ge y^{16}\quad\hbox{and}\quad (x^4+y^8)^2\ge2x^4y^8\ .$$ Ahora supongamos que $(x,y)\ne(0,0)\,$. Si $|x|\le y^2$ tenemos $y\ne0$ y $$|f(x,y)|\le\frac{4|x|^3|y|^{11}}{|y|^{16}}\le4|y|\ ,$$ mientras que si $|x|\ge y^2$ le tienen o $y=0$, cuando se $f(x,y)=0$ o $y\ne0$ $x\ne0$ y $$|f(x,y)|\le\frac{4|x|^3|y|^{11}}{2|x|^4|y|^8}=\frac{2|y|^3}{|x|}\le2|y|\ .$$ Por lo tanto, para todos los $(x,y)\ne(0,0)$ hemos $$|f(x,y)|\le4|y|\ ,$$ y el lado derecho tiende a cero, como se $(x,y)\to(0,0)$.

Answer 3

La desigualdad de Cauchy (media aritmética mayor o igual a la media geométrica) implica que para cada $a,b\ge0$ $$ \underbrace{\frac{a}{k}+\cdots+\frac{a}{k}}_{k\,\,\text{momentos}} +\underbrace{\frac{b}{\ell}+\cdots+\frac{b}{\ell}}_{\ell\,\,\,\text{momentos}} \ge (k+\ell)\,\,\sqrt[k+\ell]{\left(\frac{a}{k}\right)^k\left(\frac{b}{\ell}\right)^\ell} $$ o $$ a+b\ge c_{k,\ell}^{\frac{k}{k+\ell}}b^{\frac{\ell}{k+\ell}} $$ para un adecuado constante $c_{k,\ell}>0$.

En nuestro caso ( $a=x^4$ $b=y^8$) $$ x^4+y^8\ge c_{3,5}(x^4)^{3/8}(y^8)^{5/8}=c_{3,5}\lvert x\rvert^{3/2}\lvert y\rvert^5, $$ o $$ (x^4+y^8)^2\ge c_{3,5}^2\lvert x\rvert^3 \lvert y\rvert^{10} $$ y por lo tanto $$ \lvert f(x,y)\rvert=\frac{4\lvert x^3y^{11}\rvert}{(x^4+y^8)^2}\le \frac{\lvert y\rvert}{c_{3,5}^2}. $$ Claramente $$ \lim_{(x,y)\a(0,0)}f(x,y)=0. $$

Answer 4

Voy a agregar esta respuesta sólo porque se lleva a cabo lo que es (para mí) una característica interesante. Primero uno puede caer a la $4$ y asumen $x,y$ son positivas, si uno está reclamando el límite es cero. Definir $p(x,y)=x^3y^{11}/(x^4+y^8)^2$ y la nota se puede dividir un factor de $y$ y escribir $p(x,y)=y\cdot u(x,y)^2,$ donde $$u(x,y)=\frac{\sqrt{x}^3y^5}{x^4+y^8}.$$ Si se puede demostrar que $u$ está delimitado por encima de nosotros está hecho. Pero $u$ es posible que, después de dividir el numerador y el denominador por el numerador de la misma, de ser escrita en términos sólo de la relación de $t=\sqrt{x}/y$ $u=1/(t^5+t^{-3}).$ Este tiene por una variable métodos de su máximo en $t=(3/5)^{1/8}$, lo que hace que $u$ $0.51604,$ $u$ es delimitada como se desee.

Answer 5

Mostrar que el límite es 0 $(x,y)\to(0,0)$ en el primer trimestre $\{x>0,y>0\}$. Suponiendo que el opuesto tenemos tal $x_n,y_n>0 (n\in\mathbb{N})$ tiende a 0 y $A>0$ que $$\frac{x_n^{1.5}y_n^{5.5}}{x_n^{4}+y_n^8}>\frac{1}{A}$$ o $$\frac{x_n^{2.5}}{y_n^{5.5}}+\frac{y_n^{2.5}}{x_n^{1.5}}<A.$$ De dónde $$\frac{x_n^{2.5}}{y_n^{5.5}}<A,\quad \frac{y_n^{2.5}}{x_n^{1.5}}<A,$$ que rendimiento (som $A'$$A''$) $$x_n<A' y_n^{11/5}<A'' x_n^{33/25},$$ entonces $$1<A'' x_n^{8/25}.$$ Desde $x_n\to 0$ obtenemos una contradicción.