Aquí hay una respuesta de un párrafo: Los espacios topológicos formalizan la idea de espacios con una noción de "cercanía" de puntos. Sin embargo, no logran manejar la idea de "puntos que están infinitamente cerca, pero distintos" de una manera útil. Los conjuntos condensados manejan esta idea de forma útil.
Permítanme dar algunos ejemplos. Digamos que tienes un espacio agradable como la recta $X=\mathbb R$, y sobre él actúa un grupo $G$. Si $G$ actúa bien, por ejemplo $G=\mathbb Z$ a través de traslaciones, entonces el espacio cociente $X/G$ se comporta de manera adecuada como un espacio topológico, dando en este caso el círculo $S^1$. Sin embargo, si $G$ tiene órbitas densas, por ejemplo $G=\mathbb Q$, entonces $X/G$ no se comporta de manera adecuada como un espacio topológico. De hecho, en este ejemplo $\mathbb R/\mathbb Q$ tiene muchos puntos distintos, pero todos están infinitamente cerca: cualquier vecindad de un punto $x$ también contendrá cualquier otro punto $y$. Por lo tanto, como espacio topológico $\mathbb R/\mathbb Q$ es indiscreto; en otras palabras, no está recordando ninguna estructura topológica no trivial.
También se pueden considerar ejemplos no abelianos, como el cociente $\mathrm{GL}_2(\mathbb R)/\mathrm{GL}_2(\mathbb Z[\tfrac 12])$.
Cosas similares también suceden en análisis funcional. Por ejemplo, se pueden incrustar secuencias sumables
$$\ell^1(\mathbb N)=\{(x_n)_n\mid x_n\in \mathbb R, \sum_n |x_n|<\infty\}$$
en secuencias cuadrado-sumables
$$\ell^2(\mathbb N)=\{(x_n)_n\mid x_n\in \mathbb R, \sum_n |x_n|^2<\infty\}$$
y considerar el cociente $\ell^2(\mathbb N)/\ell^1(\mathbb N)$. Como espacio vectorial topológico, esto es indiscreto, por lo que no tiene más estructura que el espacio vectorial abstracto $\mathbb R$. Por esta razón, generalmente se evitan los cocientes de este tipo, ¡aunque pueden surgir naturalmente!
Sin repetir la definición de conjuntos condensados aquí, permítanme simplemente promocionar que pueden formalizar la idea de "puntos que están infinitamente cerca, pero distintos", y todos los cocientes anteriores pueden tomarse en conjuntos condensados y son razonables. Como hemos visto, esto significa que se debe abandonar "vecindades" como el concepto primitivo, ya que en estos ejemplos todas las vecindades de un punto ya contienen todos los demás puntos. A grandes rasgos, lo que se formaliza en su lugar es la noción de convergencia, posiblemente permitiendo que una secuencia converja de varias maneras diferentes.
Así, en el mundo condensado, se vuelve posible considerar cocientes como $\ell^2(\mathbb N)/\ell^1(\mathbb N)$, y dentro de todos los espacios vectoriales condensados $\mathbb R$ son tan extraños como los grupos abelianos de torsión como $\mathbb Z/2\mathbb Z$ dentro de todos los grupos abelianos. Sin embargo, hay algunos fenómenos nuevos sorprendentes: Por ejemplo, hay un mapa no nulo de espacios vectoriales condensados de $\mathbb R$
$$\ell^1(\mathbb N)\to \ell^2(\mathbb N)/\ell^1(\mathbb N)$$
inducido por el mapa
$$(x_n)_n\mapsto (x_n \log |x_n|)_n,$$
en otras palabras $x\mapsto x\log |x|$ pretende ser un mapa lineal. (Dejo esto como un ejercicio (divertido).)
(Estos son espacios vectoriales líquidos de $\mathbb R$, y la presencia de tales mapas extraños hace difícil establecer la teoría básica de los espacios vectoriales líquidos; ¡pero argumentablemente lo hace más interesante!)
