Dada una matriz $n \times n$ $$A=\begin{bmatrix} 1&a&0&0&\cdots&0\\ 0&1&a&0&\cdots&0\\ 0&0&1&a&\cdots&0\\ \cdots\\ a&0&0&0&\cdots&1\\ \end{bmatrix}$$
Estoy tratando de probar que $$A^{-1}= \dfrac{(-1)^{n-1}}{a^n+(-1)^{n-1}} \begin{bmatrix} 1&-a&a^2&-a^3&\cdots&a^{n-1}\\ a^{n-1}&1&-a&a^2&\cdots&-a^{n-2}\\ -a^{n-2}&a^{n-1}&1&a&\cdots&a^{n-3}\\ \cdots\\ -a&a^2&-a^3&a^4&\cdots&1\\ \end{bmatrix}$$
He verificado el resultado para valores pequeños de $n$ con Wolfram|Alpha (ver aquí y aquí), y he intentado probar el resultado general a la fuerza bruta pero me perdí en el cálculo de los cofactores. ¿Hay algún truco o alguna propiedad de las matrices que se puede usar para demostrar (o refutar) este resultado?
